藉助數理概念聊一點音樂知識:和諧

2017/03/09

讀到本家張偉偉的博文「藉助力學概念學一點音樂知識:律制」(鏈接:),感覺寫得不錯,五度相生和三分損益、純律和十二平均律都說到了。借用一下他的題目,抽了點空根據自己的體會再發揮一下。

有了音律或音階,下一步就碰到音階的和諧問題了,這當然是領導首先要考慮的,但也是音樂家或作曲家每天面對的。張偉偉覺得「和諧應該是人的一種感覺」,這無疑是十分正確的。作為一個不懂但又喜歡音樂的理工男,聊一聊這種「感覺」的「數理基礎」也很有趣。根據前文,總的來說由五度相生、三分損益及純律得到的許多音階的波長或頻率之比都是其分子和分母可以用整數表達的分數,這就是和諧的基礎。拿頻率來說,電子學里常說到倍頻程、二次諧波、偶次諧波、高次諧波等等,倍頻程或二次諧波就是純八度或高八度,4次諧波就是兩個倍頻程或兩個「高八度」,這是常識。再例如,2/1、3/2、4/3、5/4、6/5,5/3,8/5……這些頻率關係其實也就代表了一些不同音階之間的距離或頻率差別,音樂家們稱之為音程,以「XY度」來計算。同度(純一度)不用說了,頻率相差2/1、3/2、4/3是純八度、純五度和純四度,5/4和6/5是大三度和小三度,5/3和8/5是大六度和小六度。這些說法本身都有點約定俗成的意思,純四加純五並非純九而是純八,大三加小三不是大六也不是小六而是純五,小三加大六或大三加小六倒也是純八是不是有點搞?做乘法再用加法又不取對數當然會有點搞,所以人家音樂學院也得上課不是?反正習慣了就不會搞錯。一倍頻程按12個音階就是12個半音程或12個小二度,也就是6個全音程或6個大二度。比純八低小二是大七度,低大二就是小七度了,最後一個,比純四高小二或比純五低小二應該是一樣的,稱為增四度或減五度,至此12個音就湊齊了。清楚一點可以看下面的表。

有了這些背景就可以聊聊和諧問題了。和諧就是個感覺而已,和而不同嘛,自己和自己和(純一度)沒啥意義,不同才有和的價值。和也是有些數理基礎的,看看上面的表,五度相生、三分損益和純律對前面7個音程(同度除外)的定義好像並無差別,都是相當簡單的整數比,並且越靠前越簡單,當相差這個音階的兩個音或按此頻率比的兩個聲波振動同時被人感知時,確實也是越簡單感覺越和諧,這應該已有共識,簡單就是美,古人們也英雄所見略同?再細看,大部分弦樂器都是按純五度定弦的,聽起來純五確實也比純四要和諧一點;據說大三比小三耳朵聽起來亮一些,那大三應更和諧一些;大六嘛看上去也比小六和諧一點,聽起來也更亮一點。常說純音程和大小三六度是協和音程就是指這7個。後面5個音程,幾種律似乎有點小差別,其實如果只追求盡量簡單些的整數比的話,我們也可以根據前面7個自己把後面5個湊出來,這樣也整個律出來就叫「和諧律」好了(未仔細比對,如有雷同純屬巧合)。像大三和小三不就差個小二嗎?除一下得到16/15;純五和純四差個大二,除一下得到9/8;純五疊個大三就是大七,乘一下就是15/8;增四就算兩個小三,乘一下36/25好了。這樣的律至少表面看上去也是有一點和諧的,但總體來說,後面這5個看起來就不如前面7個順眼,怎麼整也都白搭,不太和諧,所以連音樂家都把它們叫不協和音程。能不能定義出一個和諧指數呢?分子和分母直接加一下倒一下再乘個2歸一化,數值越大越和諧?雖沒聽過這樣的說法,但看看倒也差不多。按此也大六比大三和諧一點,似乎也有這樣的說法,見仁見智。

和諧指數「和諧」律十二平均律
純一度1.00001/1120/121
純八度0.66672/12212/122
純五度0.40003/21.527/121.498307077
純四度0.28574/31.33333325/121.334839854
大三度0.22225/41.2524/121.259921050
小三度0.18186/51.223/121.189207115
大六度0.25005/31.6666629/121.681792831
小六度0.15388/51.628/121.587401052
大七度(純五+大三)0.087015/81.875211/121.887748625
小七度(純五+小三)0.14299/51.8210/121.781797436
大二度(純五-純四)0.11769/81.12522/121.122462048
小二度(大三-小三)0.064516/151.04166666721/121.059463094
減五度或增四度(小三+小三)0.032836/251.4426/121.414213562

再說說十二平均律,雖然確實又均勻又方便,但這12個音階除了純八都是些無理數,怎麼個和諧法?這就要說到測量的精度和誤差了。音程是個相對值,大部分人(五音不全的除外)對聲音的相對音高(頻率)或兩個音的差別還是比較敏感的,因此最小的小二度也還被細分成100個音分,這樣一個倍頻程就是1200分。這個用十二平均律比較好算, 差1個音分是大約1.0006倍,在小數點後面第四位上了。 測量儀器呢?實際主要就是人的耳朵。據說普通人(五音全的)大概20分以下也就不能分辨了,這樣用十二平均律該和諧的也就都和諧了;音樂家嘛敏感一些,算10分以內吧,也許有人會有點感覺但問題也不大;據說有人能分辨2-3分甚至1分,這樣就會有相當的感覺了,但這樣的人畢竟只是極少數。況且,樂器製造和調音時也不會嚴格按十二平均律去調,而往往是調的「和諧」一點,只要誤差不積累,高八度都按倍頻程就好了。大部分人其實對絕對音高(頻率)並不敏感,所以無伴奏合唱時要先起個調調感覺一下好記住了,不然大家同時一張口難免各唱各的。有個好辦法是先張口不發聲然後再跟著唱,這樣保證沒問題,問題是要大家都不發聲那就麻煩了。也有少數人對絕對音高很敏感,有所謂絕對辨音力可以張口就來,這是題外話了。

音階的和諧有什麼實際用處呢?無非是取悅耳朵咯,當然樂器調音時也會用到。弦樂器的兩根弦是不是相差純五度只要同時拉這兩根空弦,聽同時發聲和諧不和諧就知道調沒調準,這樣提琴的四根弦只要先定準一根的絕對音高,其他3根可以馬上調好,當然前提是都得先在純五度附近,要不然就可能跟人家去和諧了,這個情況菜鳥也可能會碰到;過去的鋼琴調音師只用一兩根標準音叉就可把走了音的鋼琴整個都調好,那也是要靠聽和諧,但首先得有個好耳朵。現在有了電子調音器,一個小盒子裝上兩節電池就可以直接精確測量音高(頻率),耳朵也不用了直接用麥克,還可直接調出每個標準音高數據進行比對,眼看手調很容易就能調到幾分之內,精確地按十二平均律調也沒問題,更別說電子樂器連調都不用調啦。順便說一句電子樂器也是要有個頻率標準的,也許是個石英振蕩器,就相當於一根標準音叉。

古人對音律還是挺重視的,不只為了悅耳好像還關乎社稷,像曆法一樣花了許多心思,皇上的編鐘編磬和他的鼎一樣也是不能問的,回去時還要帶走,但和諧還是基礎,曲子也要中規中矩,靡靡之音不行。到了現代,作曲家勞心,指揮家勞力,演奏家小人,歌唱家君子,他們是不是老和諧也有點審美疲勞了,為了創新就會有人搞點不和諧的出來,但能欣賞的並不多,也許時間久了才會習慣。突發奇想超前一步,能不能幹脆把Ö2Ö3Ö5Ö7、e 、p這些都用上整個「不和諧律」出來試試?也算是個顛覆創新。這個要做成固定音高樂器估計很麻煩,不固定音高的樂器上現在也沒人能奏,但在計算機上也許不難,可以用它寫個曲子先試試,再找作曲家和演奏家先聽幾天看看效果。

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