一個神奇的公式，炒股有了它，啥也不怕啦！

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近期中小創深度調整，對於抄底，大家都躍躍欲試。那麼到底能不能買，買多少為好呢？雪球菌給大家安利一個神奇的公式：凱利公式。你不知道什麼是凱利公式？那還不來看看球友@clover42 的科普！

凱利公式：

1、最佳收益率倉位

很多人對投資收益率與倉位的關係有一個模糊的概念：大概倉位越高，收益率越高；因此很多人在股市中喜歡滿倉，甚至融資。到底收益率與倉位有什麼關係呢？先看下面一個例子。

例如有這樣一種機會，有一半概率賺一倍，有一半概率虧50%，這種機會是否值得投資呢？

計算一下期望E=0.5*2+0.5*0.5=1.25，大於1，應該是值得投資的。

先把模型簡化一下，對這種機會投資兩次，一次賺100%，一次虧50%。

假設本金有100，每次拿出10%的資金投入，第一次賺了10。第二次再拿10%的資金投入，虧損5.5，最終104.5，收益率4.5%；如果每次拿出20%的資金投入，那麼收益率為14%。

似乎看來，倉位越高收益越大。為了提高資金的利用率，全部投入。這樣計算一下，第一次賺了100，第二次虧了100，收益率為0%。怎麼收益率沒有提高，反而大幅降低了呢？

我們將倉位和計算收益率的關係畫成曲線，如下圖所示。這條曲線與直覺是有差異的。顯然不是倉位越大收益越高。在超過一個臨界點之後，倉位的升高造成了收益的降低。甚至在倉位超過100%之後（未考慮融資成本），收益率竟然是負的！

而這個最大值怎麼得到呢？之前有一個叫凱利的人已經研究過了，只要給出勝率和賠率，就能計算出這個最大值：

f=p/a-q/b

p:贏的概率 q：輸的概率（1-p） a：輸的損失率 b：贏的收益率

把上文的情形帶入計算，得到f=0.5。對這種機會，始終投入50%的倉位將獲得最大的收益！如果倉位低於該值，收益率會降低，如果倉位高於該值，收益率也會降低，甚至可能出現虧損！也就是說即使是一個賺錢的買賣，倉位控制不當還是會賠錢。

2、黃金準則

通過凱利公式可以推導出如下兩條黃金準則：

1） 對於期望≤0的品種，無論如何配置倉位都不能取得正收益；所以賭博、彩票等期望為負的品種沒有參與價值。

對於反駁說某某買彩票中大獎的人，需要明白實力與運氣的區別。運氣是無法通過學習提高的。Michael Mauboussin在《實力、運氣與成功》[4]中有詳細討論。也可以讀讀巴菲特1984年在哥倫比亞大學的著名演講《格雷厄姆-多德都市的超級投資者們》

在股市中，無數人用爛了的技術指標（KJD/MACD）的期望應該接近於0；

對於參與熱點炒作來說更是飛蛾撲火。參考文章《紀念一個不再更新的指數》

關於「猜大小賭局」流傳著一個賭徒必勝方法：押100猜大，贏了繼續押100猜大，輸了賭注翻倍後繼續押大，只要贏一次，就會把所有輸掉的錢贏回；只要贏了，重新押100猜大。

自己先想想哪裡有漏洞，再看專家解答：《賭徒「必勝方法」 對不對？》，

對於參與的投資品種或策略，必須確保期望收益率為正，否則長期必輸！

2） 倉位對於收益率具有重要意義

即使投資品種的期望收益率為正，但如果倉位不合適，資產的期望收益率仍可能為負的！

我們知道，現金不產生任何收益，但是在上面的例子中，為什麼把一部分的資金以現金的方式拿在手中，反而能夠促使資金總額實現增長？這表面上，似乎是現金導致了資金的增長。是不是有點費解？以投資股票為例，因為現金和股票的比例f是一個固定的比例，如果股票價格升高，則總資金中投在股票上的金額所佔的比例也升高，這時為了保持f固定不變，就需要賣出一部分股票變成現金；如果股價價格下降，則總資金中投在股票上的金額所佔的比例也下降，為了保持f固定不變，就拿出一部分現金用於買入股票。所以，這裡的賭注和現金就好象兩個水池，比例f就好像它們之間的一個自動化的水泵，賭註上的資金多了，水泵就自動把資金往現金這個池子裡面送；現金上的資金多了，水泵就自動把資金往賭注這個池子裡面送。這樣送來送去，在不做任何預測的情況下，卻自動實現了「低買高賣」的效果。這正是對「重操作、不預測」的一個極好的註解。

因此對於股票投資，不要認為50%倉位就是保守策略，犧牲了收益率。實際上倉位過高收益率反而降低。

對於可能歸零的品種，不管這個概率有多小，最有策略是永不滿倉。

融資買入單一品種，再加上有強制平倉等等限制，有一定的概率爆倉，這種策略波動率極高（獲得超高收益的概率增加了，巨幅虧損的概率也增加了），長期下來收益率最終會歸零。

3、波動性

對於上述例子中的機會，倉位0.2和0.8，每次投資的期望收益率都是3.9%。那麼這兩種倉位配置有什麼區別呢？

聰明的人馬上就會想到，當然選擇0.2倉位，因為可以多出60%倉位買貨幣基金也能提高收益啊。這當然是一方面。下面我們將會從波動性的角度來研究。上述的例子太過簡單，只模擬了兩次投資情形。下面我們模擬100次投資的情形，如果初始資金為1，倉位0.2，經過100次之後資金規模有多大呢？理論計算應該為47倍。通過軟體模擬收益率曲線如圖2所示，這次運氣比較好，收益為83倍。

雖然輸贏的概率都是50%，但實際上投100次輸贏的頻率並不是嚴格的50次，因此結果也是不確定的。我們假設有50個人都按照上述0.2倉位進行投資，由於大家的運氣不同，最終的投資收益也不一樣。如果把大家的收益率曲線都畫出來，將得到一簇曲線：

可以看出大家的運氣有很大的不同。運氣差的收益只有七倍，運氣好的收益有兩千多倍。

如果50個人按照0.8的倉位進行投資呢？結果如圖4所示。雖然期望收益率是一樣的，但有人收益千萬倍，有人卻虧損了99.9%！

可能有人通過這種策略賺了1萬倍，參考圖4還是有幾個人能做到的。然後他們會堅信自己投資策略的正確性，並四處宣揚這種策略。正如全美猜硬幣大賽勝出的那幾個人一樣。然而其它人按照這種策略進行實踐的時候，效果卻不理想，大部分人收益平平，還有少數人巨虧。

可以看出，隨著倉位的增大，收益率是先增大后減小，而結果的隨機性一直在增大。隨機性越大，運氣就顯得越重要。

波動率大小與什麼有關呢？簡單分析就可以知道，由贏時的期望收益與輸時的期望收益比值有關。對於圖3，該比值為1.2/0.9=1.33，即對於100次投資機會，兩個人僅僅有一次運氣不同，最終收益會差別33%。對於圖4，該比值為1.8/0.6=3，一次壞運氣，資產就縮水2/3.

我們把波動性看作風險之一。過高的波動性會帶來結果的不可控，並且引申出其它風險。關於風險會在4.3節介紹。對於圖4的投資策略，結果的離散性非常大，期望收益率顯得微不足道，運氣顯得更加重要，結果難以預先把握。這種策略更接近於賭博，而非投資。當倉位為100%的時候，收益率曲線就完全與拋硬幣猜大小相同了，這時就完全變成了賭博。

雖然上面的例子是50%的倉位對應的期望收益率最高（為6.1%），但此時的波動率是非常大的，超出了很多人的承受能力。大多數人能容忍的波動性是非常有限的，因此合適的倉位比最佳收益率倉位要低得多。

對於投資指數基金，全倉etf還沒有動態平衡策略（一半etf，一半現金）收益高。指數波動率越高，動態平衡策略的收益越高。

4、現實問題

讓我們回到現實的投資上來。在現實世界里，概率和賠率都很難確定，如何計算最佳倉位呢？

雖然對概率和賠率的準確值難以確定，但會有自己評估的一個範圍。對於標的研究的越透徹，我們對概率和賠率評估可以越準確。

一種評估自己的方法就是看看自己的歷史交易記錄，每隻標的的實際情況與當初自己的評估（一定是當時的記錄，而非回憶）進行比較。如果有幾十或者上百個標的的記錄分析，就可以對自己的評估和現實情況進行分析。對概率和賠率的判斷是偏保守還是激進，過去評估的準確性有多高，一致性如何，以及如何調整當前的評估方法。

隨著倉位的提高，收益率存在最大值，但波動率卻逐漸增加。因此對於實際的倉位配置應偏保守為宜，這樣即使評估出現偏差，往往是期望收益率的下降。而如果倉位比較激進，出現偏差會導致結果的很大不確定性，期望收益率甚至為負。

單一個股是有歸零風險的，到底倉位多少合適因人而異。Graham說過，對於普通人來說，過於集中是賭博，而對於Warren來說不存在這個問題。我的觀點基本一致，投資高手當然可以集中一些，但對於普通人來說，個股的確定性太低了，必須充分分散。設想一個極端，即使你對股票一竅不通，只要足夠分散（購買指數ETF），就會獲得平均收益，甚至能排到中等偏上的位置。市場中的專業投資者非常多，普通人想在個股研究上超越他們及其困難。退而求其次，放棄暴利的幻想，充分分散，通過資產配置和情緒管理，才是合適的選擇。

5、多種資產配置

之前探討的都是單一資產情形，類似股市裡只有一隻股票，來研究這隻股票和現金的比例關係。實際情況是市場里有幾千隻股票，而且還有債券市場等。

凱里公式可以推導出同時有多個投資機會時的資產配置策略。但推到過程複雜，需要的參數太多。基本結論是如果有多個彼此獨立的投資機會，那麼每個機會的最優倉位比沒有其它機會時低（可以將其它機會看做機會成本），而總倉位會比單個機會的最優倉位高，最終收益率也會比單個機會高。

多種資產配置的核心是要找到相關性較低甚至負相關的投資品種，那麼通過資產配置，就可以在不降低收益的同時，降低資產的波動率，顯著提高夏普比率。David Swensen管理的耶魯大學基金會就體現了這一點。由於大學基金每年都有固定的資金支出，因此一旦出現基金凈值的向下波動，此時支出的資金就將波動性兌現成永久性損失。他還給普通個人投資者寫了一本書《不落俗套的成功》[8]，指出資產配置是投資者收益的主要來源。核心的資產類別包括股票、國債和房地產。多元化要求每種資產類別至少佔5%~10%，並且不能高於25%~30%，這樣才能使多元化真正起作用。

蛋卷安睡全天候[9]也通過大類資產配置以非常低的波動性獲得可觀的收益率，其資產包括股票、債券、黃金、油氣等美股ETF。

僅對於股票類資產來說，分散持有5~10個是非常有必要的。需要注意的是不同股票之間的波動的相關性是比較強的，即使分散持有上百隻股票（如ETF），也無法完全避免整體價格的大幅波動。

6、思考題

在資本市場，什麼樣的投資品種適合配置較高倉位？