數學推理有哪些方法，如何成為數學解題高手

數學是推理工具，可解決的問題有兩類：證明命題成立，推導未知量的具體數值

下面分別論述如何利用數學解決問題。

命題證明：

方法有兩種：

1，常規推導方法，從公理或已知的命題推導出該命題成立，即證明該命題是已知公理的子命題。要點是要理清命題以及給出條件的含義，找出該命題的等效含義和條件，最好是轉化為數值等式關係，然後符號演算，這種演算方法通用性強，在一些特殊情況下也轉化為直觀的幾何關係，通過直觀的幾何關係證明，但幾何的方法需要靈感，不通用。

2，歸謬方法，假設該命題不成立，推導出矛盾的命題，從而證明該命題成立。適用的場合比較有限，不作介紹。

舉例， 證明勾股定律成立，

明確含義：

• 勾股定律是直角三角形的斜邊平方等於另兩邊的平方和

• 直角三角形的定義是其中一個角是直角

找等效含義，轉化為符號演算:

• 邊成的平方等效於正方形的面積，於是可以考慮利用直角三角形的特點拼接圖形，有很多種拼接方法，但都不好想出，都屬於靈光一現的想法，不具有可複製性，這裡不作介紹。

• 換個通用思路，勾股定律既然是邊長數值間的關係，可以考慮直角三角形有什麼獨有特點讓邊長數值間發生關係，用等式表達，然後數學演算，轉化為平方的關係。這種思考方法適用任何場合，可以逐步思考，人人都能掌握。讓邊長數值發生關係，只能利用相似三角形的邊長比值相等，於是考慮構建相似三角形，因為一定要把直角利用上才會反映出直角三角形的特性，自然想到從直角處引垂直斜邊作輔助線。

很容易證明：新生成的兩個直角三角形都與原來的大直角三角相似，這也是直角三角形的特性。用數值等式描述相似性，多了3個變數，c1，c2，h 需要3個等式消元，要推導a, b, c間的關係，還需要第4個等式關係，所以總共需要4個等式：

下方小三角形與大三角形相似：

b/c = c2/b

h/a = b/c

上方小三角形與大三角形相似：

a/c = c1/a

h/b = a/c

把c1,c2,h當成變數，任意用其中3個等式，求解出它們的表達式，帶入剩餘還沒用到的第四個等式，變換等式即為：

a平方 + b平方 = c平方

這種關係等式演算的方法，又叫做方程的方法，適合大多數場合，是數學的主要內容。方程方法的用處除了證明命題外，更主要的用處是推導未知量的具體數值。在簡單的場合，僅僅算術思維也能求解，但稍微複雜的場合，方程是唯一的求解方法。方程的使用步驟：

1，搞清楚題目中的條件，已給出數值的含義，暗含的數值。把要求解的未知量用簡單易懂的符號代替，包括要求解的未知量和可能需要的未知量。

2，針對某個物理量，兩兩找出數值間的等式關係，一直到等式的數量不少於未知量的數量為止。

3，用數學演算率轉換等式，兩邊同時加減乘除，開方開根，微分積分，項式展開等，一直到單獨的未知量和某個具體值的等式關係，即求解。

例子1（國小的數學題，為讓所有人都能看懂）：

某管道工程由甲乙兩工程隊施工，單獨施工分別要用10天和15天，如果兩隊兩端同時施工2天，然後由乙隊單獨完成剩下的工程還需幾天完成？

我們先用直接的思維推導方法做：工程量為1，甲乙每天可完成的量是 1/10, 1/15. 同時施工兩天後還剩 1 - （2/10 + 2/15）， 剩餘的由乙隊單獨施工，還需用的天數既是 前面的剩餘數 除以 1/15 。

這種推導方法需要稍微複雜的思維過程，而且常常只有一個思路可行，想不到就做不出。

現在我們用方程的方法，完全不需要思維推導，只需考慮數量關係即可，然後數學演算即可得出需要的答案，而且數量關係可以從不同的角度考慮，都是等效的：

還需用的天數為未知量，符號記作x天。

方法一： 2天共同完成的工程量加x天乙隊完成的工程量等於1， 即

2/10 + 2/15 + x * 1/15 = 1

方法二： 甲乙分別完成的工程量和等於1，即

2/10 + (2 + x) * 1/15 = 1

方法三： 剩餘的工程量即為乙隊x天完成的量， 即

1 - （2/10 + 2/15） = x * 1/15

可以看出用方程的方法可以從不同角度描述出數量關係，非常容易想到，然後再用規則演算得到解。而用思維直接推導，即算術方法，就稍微有一定的難度。這個例子是非常簡單的應用題，也可以用算術的方法想出，但更多的應用題再聰明的腦袋也不能想出算術的思路，只能用方程的方法列出所有的數量關係式然後演算，列關係式要做到不能缺失，否則做不出答案來，關係式有重複的在演算時會發現，直接去除多餘的關係式就行了，不影響演算。

例子2，稍微難點（依然是國小的數學題，所有人應該都會）：

某鐵路橋長1000米， 一列火車橋上通過，火車剛上橋到完全通過的時間是1分鐘，整列火車在橋上的時間是40秒，請求出火車長度和速度。

用算術的思路就很難想出

現用方程的方法： 假設火車速度是x米/秒, 長度是y 米。

這裡面有3個數值： 橋長1000米，過橋用時1分鐘，整列火車在橋上的時間是40秒，我們列關係式只要兩兩地考慮關係。

先1000米和1分鐘： 1000 = 60 * x – y

再1000米和40秒或1分鐘和40秒，那一對容易表達關係用哪個。

1000 = 40 * x + y 或 （60 – 40）* x = 2 * y

三個方程用其中2個就完全描述出關係了，三個都用就重複了（任意2個可以推導出第三個關係式）。如果判斷不出是不是重複就都列出，反正運算時可發現不影響求解。

針對這些簡單的應用題，我們在演算方程或方程組時其實每步演算都有實際的意義，但在複雜方程的演算中，每步的演算大部分沒有實際的物理意義對應，純粹是數學規則的應用。所以有些高深的物理問題可能只能用數學方法才能發現和解釋。

這裡再強調下應用題轉化為方程或方程組的問題，這個是解題的關鍵。把要求解的值設為符號x，y ,z等，把題目中的說到的數值或暗含的數值和含義寫出來，註明含義，然後拿出其中的兩個的數值考慮其關係，把其他量引入，列出數量關係式即方程，一直到所有數值都用到為止，然後把幾個方程放在一起利用數學演算求解，方程有實質重複的沒關係，演算時發現再去除。這個才是科學的解題步驟，不需腦子多聰明，不需腦子同時考慮到多種情況，只要一個一個地分別考慮問題然後列出關係式，最後丟開實際場景只是數學運算即可。

例子3，（高中的知識水平）：

敵軍陣地在前方20公里處，我方大炮的出膛速度是1000米/秒，求打擊敵方時炮管仰角應是多少。

用算術思維無法想出答案，只能用方程的方法。

仰角設定為y，這裡有兩個數值20公里，1000m/s，標明其物理含義，然後兩兩找數量關係，組合隨意，根據物理意義，數量關係一定是同一個物理量間的關係。

仰角y和距離20公里的關係： 考慮空間距離上的關係， 仰角x導致炮彈在落地時水平方向飛行了20公里，這時就必須另外引入飛行的時間t，所以關係式為：

1000 x cos(y) x t = 20,000

距離20公里和速度1000m/s的關係： 上面已經考慮了距離上的關係，所以這次只能考慮其他物理量上的關係，這個例子中涉及到的物理量還有時間，速度，我們可以隨意選擇，如果發現和已列的關係式等效，就換另一個，這裡選擇速度是和上述的距離關係式等效，所以只能選擇時間：水平飛行20公里的時間和炮彈落地的時間相等，

20,000/(1000 * cos y ) = 2 * 1000 * sin y / g g是重力加速度9.8 m/s/s

兩個方程，兩個變數，按數學演算規則就很容易求解出仰角y的具體值。

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