GHZ定理 | 走近量子糾纏

■張天蓉/文

上一節中寫到天才的費曼的故事，這兒，忍不住還要再插進一段題外話。因為我想起了費曼鮮為人知的另一件事。那是在1986年，美國的挑戰者號太空梭，在發射后的第73秒時，由於右側的太空梭固體助推器的O型環密封圈失效碎裂，導致機身解體而使得7名成員全部罹難。之後，費曼參加到「太空梭挑戰者號事故總統調查委員會」之中。特立獨行的費曼，不是完全依據上級規定的日程表工作，而是以自己的風格，直接對事故進行深入調查。查出事故的原因后，在一場電視廣播的聽證會上，費曼將材料浸泡在一杯冰水之中，展示了O型環如何在低溫下失去韌性而喪失密封的功能，通俗地說明導致這場重大災難的技術原因。並且，費曼尖銳地批評NASA在「安全文化」上的缺失，堅持要委員會將自己個人對太空梭可靠性的觀點列入最後的報告中，他總結他的觀點時說：「想要在技術上成功，實情要凌駕於公關之上，因為大自然是不可欺騙的。」 費曼以一個科學家的良心，再次博得了公眾的讚賞。

當然，像費曼那樣多才多藝，而又能高瞻遠矚的全才，畢竟只是鳳毛麟角。有多少人能像費曼一樣，一會兒遨遊在深奧的物理世界，一會兒又活躍於計算機領域，一會兒蹦上舞台打鼓，一會兒又跳進了裸體畫中……

對大多數人來說，飯得一口一口地吃，路要一步一步地走。物理學家們也是如此。科學的偉大成就既來自於巨匠們的雄才偉略，也少不了一代接一代無數多學者們的辛勤奉獻。光陰荏苒，歲月悠悠。上世紀80、90年代，仍然是在美國波士頓，MIT校園內的鮮花謝了又開了，草地黃了又綠了。費曼曾經在這兒的大會上高談闊論，為未來的量子計算機籌劃藍圖，後來又參與到調查太空梭挑戰者事故之中……，再後來，費曼告別了這個世界，見物理界的老祖宗愛因斯坦、波爾等去了。我們的大自然，依然如故地保持著它那蒙娜麗莎式的神秘微笑，查爾斯河上美麗的夜景如舊。科學家們，無論在象牙塔里還是在實驗室中，卻一晃就是十幾個春秋。這些年來，我們在第12節中提到的GHZ三位物理學家（格林伯格、霍恩和塞林格），仍然經常在波士頓的MIT會面，一直到90年代。他們堅持不懈兢兢業業地思考著EPR佯謬，貝爾定理等等量子理論中的基本問題。他們被多個粒子的糾纏問題糾纏不已。

當然，在這段時期內，物理界的成果也出了不少。隨著高能物理的迅速發展，粒子加速器能量不斷提高，粒子物理「標準模型」逐漸完善，基本磚塊似乎已經具備。在物理理論上，隨著夸克理論的提出、弱電統一理論的建立和量子色動力學對相互作用的正確描述，四種作用力中除去引力之外的三種：電磁、弱相互、和強相互作用，都可以用規範理論描述，還有超弦理論和場論，頗為成功的大爆炸宇宙模型……等等。儘管引力理論和量子力學的矛盾顯得越來越尖銳，但樂觀的人認為：統一理論的大廈看起來已經近在咫尺，指日可待了。然而，在這一切表象之下，如何詮釋量子論的問題仍然懸而未決，量子力學基本原理牽扯著的哲學問題，仍然像帶狀皰疹病毒一樣，暗地裡折磨嚙咬著思想者的神經。

現在，讓我們繼續GHZ等人的思路，再回到量子物理的基本問題上來。實際上，90年代GHZ小組的成員並不止格林伯格、霍恩和塞林格三人，波士頓大學的西蒙尼也參與其中。不過，他們後來的工作也一直只是以GHZ而得名。

最能反映量子物理基本問題的當然還是愛因斯坦等人提出的EPR佯謬。前幾節中我們說過，貝爾定理和貝爾不等式提供了在實驗室里檢驗EPR佯謬的可能性。但那是用雙粒子糾纏源的情形。如何用三粒子糾纏態來表述EPR佯謬呢？GHZ小組研究了這個問題，發現用三粒子糾纏系統，可以類似於貝爾定理，得出比貝爾定理更簡單的結論：GHZ定理。

還記得我們在第7節中，推導了一個貝爾不等式嗎？這個不等式，在一定的條件下，反映了經典關聯函數和量子論預言的關聯函數之間的差別（見第10節圖二）。從上面所引的圖二中還可以看到，在0o

90o

180o

270o……這些點，關聯函數值為1、-1、或0。我們將這些點稱之為具有『Perfect Correlations』（完美的相關性）的點。這些點對應的關聯函數值，包括了完全『相關』（+1）、完全『反相關』（-1）以及完全『不相關』（0）。

從第10節圖二中可以看到：對兩粒子糾纏系統來說，在『Perfect Correlations』之處，經典關聯函數和量子論預言的關聯函數數值是完全一樣的，沒有任何差別。因此，貝爾的文章中推導貝爾不等式時，感興趣的並不是這些離散的幾個「完美相關」點，而是其他那些連續的、無窮多的「不完美相關」點。這也就是為什麼在導出貝爾不等式時需要考慮關聯函數對所有的隱變數點積分求平均值的緣故。

有趣的是，對三粒子糾纏系統來說，粒子間的糾纏關聯大大加強了。強到我們不需要考慮那些亂七八糟的『不完美』的點，而只需要考慮『Perfect Correlations』的那些情況就已經足夠。因此，導出GHZ定理不需要計算積分來求平均值。只從那幾個『完美』點的數值，就能看出經典關聯函數和量子論預言的關聯函數之間的天壤之別了。換言之，對兩個粒子的情況，『完美關聯』點是些極其平淡無味的 「平凡點」，在這些點上，經典論和量子論完美符合，絲毫引不起人們的興趣。而同樣是在這些「平凡點」上，互相糾纏的三個粒子，卻能跳出美妙的華爾茲舞！並且，我們將看到，在它們奇妙的舞步中，顯露出量子現象詭異的面孔。

因此，相對於貝爾定理，GHZ的工作有兩個優越美妙之處。一是他們只考慮幾個分離的『完美相關』點，所以，解釋GHZ定理不需要運用統計求平均值方法。不用求平均值也就不用積分。第二個優點是：用GHZ定理來說明量子力學的非定域性，不需要像貝爾那樣，費心地推導出一個古怪的不等式，而只是用幾個等式之間的邏輯矛盾，只運用語言，就說明了問題。

格林伯格、霍恩、塞林格和西蒙尼四人，把他們1990年為GHZ定理而發表的論文，提名為：「沒有不等式的貝爾定理」。現在我們就試圖解釋一下這個GHZ定理。

下面的圖中心，是一個發射出三粒子糾纏態的光源。這三列光束中每個光子的自旋定態分別可以是|0>和|1>。它們朝著互為120度的方向飛出去。在遠離糾纏源的地點，有三個光子探測器，分別放在光束的三條路徑上，用以測量光子的自旋（或稱偏振）。每個探測器有兩種測量設置：可以選擇在0o或者是在90o的方向上來測量光子自旋。每個探測器又都有一個輸出的指示燈：或亮或不亮。根據在一定設置下測到的光子自旋是|0>還是|1>而定。

在圖中，將發射出去的光子想象成了三個小孫悟空。所以，我們用通俗的比喻，將這個理想實驗重複一遍：從中間的石頭縫裡蹦出了三個互相糾纏的小孫悟空，朝著互為120度的方向奔跑出去。這兒我們不妨假定這三個孫悟空是同卵三胞胎，出生之後再不碰面。在遠離它們出生的地點，有三個神仙（甲、乙、丙），分別盯著這三個孫悟空手中的金箍棒。這種金箍棒有兩個不同的旋轉方向：上旋（0）或者下旋（1）。每個神仙看金箍棒時都有兩種方法：只用左眼看，或者只用右眼看。或左或右，標示在上圖中圓圈的中央，用左眼或右眼觀察到的結果不一樣。每個神仙的頭頂能發出藍光，他們發光與否，是用不同的眼睛，根據看到的金箍棒的旋轉方向而定。

實驗中還有一個重要的規定忘了說，那就是石頭爆炸后，3個孫悟空、3位神仙之間是沒有可能互通消息的，我們可以借用在「Aspect的實驗」那一節中所使用的「延遲決定」這個詞，讓神仙很快地、隨機地換用左眼和右眼，以杜絕6者之間作弊的可能性。

對於剛才所述的思想實驗，GHZ三位物理學家想，我們首先用量子力學的規律，來預測一下實驗結果吧。我們這兒就略去了他們用量子力學進行的冗長繁瑣的數學計算，只向讀者點明幾個有趣的結果。玉皇大帝高坐在天庭之上，哪有精神去想這些具體計算呢？他只需要聽聽小鬼們的報告，知道3個神仙用左眼看還是右眼看，知道他們的頭頂發光沒發光就行了。玉皇大帝甚至不需要區分到底小鬼報告的是哪位神仙，他們一模一樣，區別他們並不重要，小鬼們每次只需要報告幾個數字，他就能悟出其中的玄機了。況且，玉皇大帝也不屑於去懂什麼量子力學，今天，他突然對GHZ定理發生了興趣，也是因為發現這個定理好像完全可以使用非物理的語言來理解啊。

好，下面就是玉皇大帝從小鬼們多次的報告中總結出來的，當3位神仙看『量子孫悟空』時，頭頂發光情況所符合的2條規則：

規則1：如果只有一個神仙使用左眼看金箍棒，其餘兩個使用右眼，那麼，有1個、或者3個神仙的頭頂會發光；

規則2：如果三個神仙都用左眼看金箍棒，那麼，小鬼們報告說：0個或者2個神仙的頭頂發光。

我們這位玉皇大帝也相信愛因斯坦，心中暗自思忖：問題可能不那麼複雜，量子規律未必就真能離譜！一定是在3胞胎孫悟空從大石頭裡蹦出來的時候，大石頭交給了它們一張指令表，大家按照表中的指令約定好，到時候，知道了神仙用的是哪隻眼睛之後，每個孫悟空都按照這張表來設置手中金箍棒的旋轉方向，恐怕就能使得結果符合那2條規則了。

什麼樣的約定表呢？看看下圖中指令表的例子就能明白：

圖中的約定表，有3行2列，『行』代表每位神仙，『列』代表神仙觀察的方法：用左眼還是右眼？行列的交叉點空格處，有的畫了藍色小圓圈，有的沒有。這些小圓圈就是給孫悟空的指令。教孫悟空在這種情形下應該如何調整它的金箍棒旋轉方向，以使得神仙頭頂發光（有藍圈）或不發光（沒有圈）。

現在，給讀者留點思考的時間，想一想：如果3個孫悟空按照上表中給的指令採取行動，最後的結果能符合規則1嗎？如果符合規則1，那麼，規則2呢？

且聽下回分解。