有時候函數與方程之間只不過差個0

我們知道當a≠0時，則y＝ax2＋bx＋c是二次函數；當a≠0時，0＝ax2＋bx＋c是一元二次方程。

函數與方程關係就是如此簡單明了。

函數與方程思想是一種重要的數學思想，認真研讀過近幾年的聯考試題，我們發現函數與方程綜合問題一直是聯考的熱點、重點內容之一。相關題型有填空選擇，也有解答題，其特點是綜合知識多、題型多、應用技巧多。

因此，今天我們就一起來聊聊跟函數與方程相關的聯考數學問題。

函數的零點不是點：

函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，所以函數的零點是一個數，而不是一個點。在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐標。

對函數零點存在的判斷中，必須強調：

1、f(x)在[a，b]上連續；

2、f(a)·f(b)<0；

3、在(a，b)內存在零點。

這是零點存在的一個充分條件，但不必要。

對於定義域內連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號。

典型例題1：

若函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，求實數a的取值範圍。

解：(1)當a＝0時，函數f(x)＝－x－1為一次函數，

則－1是函數的零點，即函數僅有一個零點。

(2)當a≠0時，函數f(x)＝ax2－x－1為二次函數，

並且僅有一個零點，

則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根。

則Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－1/4.

綜上，當a＝0或a＝－1/4時，函數僅有一個零點。

函數的零點

(1)定義：

對於函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點。

(2)函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關係：

方程f(x)＝0有實數根⇔函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數y＝f(x)有零點。

(3)函數零點的判定(零點存在性定理)：

如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0，那麼，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根。

利用函數零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點。

典型例題2：

判斷函數零點個數的常用方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點。

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點。

(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題。先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數。

對於在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

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