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中考數學統計與概率易錯知識點總結

中考數學統計與概率易錯知識點總結

「統計與概率」考查的主要內容有:數據的收集方式及圖表整理與分析;平均數、加權平均數、眾數和中位數等反應數據集中程度的統計量計算與應用;極差、方差等反應數據離散程度的統計量計算與應用;藉助樣本估計總體等統計觀念從數據中提取信息進行判斷和說理;生活中的事件分類,簡單隨機事件及其發生的概率的計算,概率模型與統計模型相結合的計算與運用等.這些知識在中考試題中多年來一直佔據相應的分值比,但每年考試結束后都有很多同學感覺遺憾,主要是因為對一些易混的知識點沒有釐清,對易錯點的反思和歸納不到位.有時候易混點就是易錯點,因此我們將「統計與概率」的主要易混易錯點結合起來進行如下梳理.
統計易混易錯點1:調查的原則把握不準
何時選擇「普查」,何時選擇「抽樣調查」,選擇「抽樣調查」的原則是什麼?不少同學比較模糊,我們結合例1來看:
例1 小明所在的班級有52名同學,就「是否喜歡看足球比賽」這一問題,小明調查了班上的24名男生,其中12人喜歡,於是小明得出結論:我們班喜歡觀看足球比賽的人數佔全班人數的一半.你同意小明的結論嗎?試說明理由.如不同意,你認為應該怎樣改進抽樣的方法?
對於這樣的問題,不少同學根據做題經驗,能夠判斷小明的結論不正確,不同意小明的結論.但要說明如何改進抽樣方法,則無從下手.原因在於對抽樣調查方式的原則把握不準.我們做抽樣調查時應把握兩個原則:一是抽取的數據要隨機,有代表性;另一個則是要注意抽取的數據不宜過少,要有一定的普遍性(廣泛性).這裡小明之所以結論有誤,是因為小明抽取的數據主要來源於對男生的調查,過於片面,數據不具有代表性.因此要改進則需在保證一定數量(20人左右)的基礎上隨機抽取男女生進行調查.
統計易混易錯點2:平均數、加權平均數的概念不清
例2 九年級(1)班和(2)班的人數分別為38人和42人,在一次數學測試之後,兩班的數學平均成績分別為81分和83分,則兩班同學本次數學測試成績的平均數是: 分.
一些同學在解決這個問題的時候審題不仔細,草率地進行了如下計算:[81+832]=82(分),而正確的計算則需要先求出兩個班級的本次測試數學成績總分,再除以其總人數,進而求得:[81×38+83×422]=82.05(分).
統計易混易錯點3:數據分析對象不明
我們發現在不少統計題中會以表格形式呈現數據,而這樣的呈現方式又常常會讓一些同學對要進行處理的數據對象分析不明,如例3.
例3 某班學生理化生實驗操作測試成績的統計結果如下表:
求這些同學成績的眾數、中位數和平均數.
題目看起來簡單,不過一些同學把15作為「眾數」的答案則是錯誤的,這裡的數據的分析對象是「理化生實驗操作測試成績」,而不是「人數」,不能看到「人數」為15,一對比是最多,就把15作為眾數,而應該是其人數對應的「9分」為眾數.
統計易混易錯點4:統計圖表理解不深
統計在很多中考試題中會結合圖表呈現數據,因此讀圖看錶的能力是我們解決此類統計題的基礎.讀圖看錶一般需要關註:圖表名稱、圖表中的數據對應關係、圖表中需畫或填的要求等.
例4 中考體育測試前,某區教育局為了了解選報引體向上的初三男生的成績情況,隨機抽測了本區部分選報引體向上項目的初三男生的成績,並將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統計圖:
請你根據圖中的信息,寫出扇形圖中a= %,並補全條形圖.
這裡只呈現這個統計題的一個問題要求,這個要求里需要計算a並「補全條形圖」.一些同學理解不深,對圖表的對應關係分析不到位,在計算出a之後或是畫錯條形高度,或是漏畫所缺條形.這裡需要在計算出a=25%之後,結合扇形統計圖的百分比和條形統計圖的具體值先計算出總人數為200人[2010%=200(人)],再根據總人數和測試成績為6個對應的百分比求出引體向上拉到6個的人數為50人,進而補全條形統計圖.
統計易混易錯點5:實際解釋脫離數據支撐
在一些中考試題中,統計題常常會與實際問題相結合,從而考查同學們運用統計知識解決或解釋實際問題的能力,滲透應用意識.如在例4中設置問題:根據圖表提供的信息,請你提出一條合理化的建議.這裡所謂合理,不是簡單地說「要加強鍛煉」或者「有多數同學已經合格,還有不合格的同學要繼續練習」等這樣泛泛而談的建議,應基於數據說話.
統計易混易錯點6:統計中數學思想理解欠缺
很多中考統計題中都會滲透數形結合思想、模型思想、樣本估計總體和分類思想等,在解決問題中需要我們留意這些數學思想,避免解決問題時出錯,如下例.
例5 已知一組數據1,2,3,4,x的極差是4,求這組數據的平均數.
這道題乍一看很簡單,極差就是用最大值減去最小值,有的同學答案就是x-1=4,x=5,然後求得平均數為3.他們忽略了一點就是x在此題中並沒有說明到底是最大值還是最小值,所以需要分類討論.除了上述這一種情況,還有一種情況就是x為最小值,即4-x=4,x=0,然後求得平均數為2.因此本題答案應該有兩個,即2和3.
概率易混易錯點1:判斷事件性質時用特例代表常態
中考試題中,有一些考題會涉及對生活中事件的性質判斷,常以選擇題形式出現.即事件是否屬於不確定事件,或是否屬於必然事件和不可能事件.我們在考慮這些事件的屬性時應以常理常態進行考慮,非常理和常態的特例不能作為判斷事件性質的依據.
例1 下列事件是必然事件的是.
A.打開電視機,正在播放動畫片
B.2008年奧運會劉翔一定能奪得110米跨欄冠軍
C.某彩票中獎率是1%,買100張一定會中獎

D.在只裝有5個紅球的袋中摸出1個球,是紅球
少數同學會誤選A,問其緣由,認為家裡電視上一次關機的時候是動畫頻道,且這次打開電視正好是動畫片的播放時間段,所以是必然事件.這裡的理解就是以特例代表常態,錯誤地對一般性事件進行判斷.
概率易混易錯點2:事件發生的所有可能結果具有等可能性判斷有誤
例2 一個不透明的盒子中裝有3個大小相同的乒乓球,其中1個是黃球,2個是白球.從該盒子中任意摸出一個球,摸到的球有幾種等可能情況?
一些同學會錯誤地認為盒子中有兩種顏色的球,所以摸出的球就是兩種情況,即:紅球和白球.本題需要分析的是摸到幾種等可能情況,正確的答案應該是摸到三種等可能情況,即紅球,白球1,白球2.
概率易混易錯點3:求隨機事件概率中「放回」和「不放回」分析不清
例3 北京2008年奧運會吉祥物「福娃」是「貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮」:將5張分別印有5個「福娃」圖案的卡片(卡片的形狀、大小、質地都相同)放在盒子中,攪勻后從中任意取出1張卡片,記錄後放回、攪勻,再從中任意取出1張卡片.求下列事件發生的概率:
(1) 取出2張卡片圖案相同;
(2) 取出2張卡片中,1張為「歡歡」,1張為「貝貝」;
(3) 取出2張卡片中,至少有1張為「歡歡」.
求例3中的各事件發生的概率,需要關注所取的兩張卡片是如何取的,原題中描述為取出一張記錄後放回,這樣總的所有可能結果就是25種;如果題目改為抽過的卡片不放回,則總的所有可能結果則減少到20種.在不放回的題目條件下,三個事件發生的概率分別為:P(圖案相同)=[15],P(歡歡、貝貝)=[225],P(至少有一張歡歡)=[925].
概率易混易錯點4:求隨機事件概率的方法舍本求末
在分析簡單隨機事件所有可能結果並計算指定事件發生的概率的時候,我們常用直接列舉、列表法和畫樹狀圖等方法來分析所有發生的等可能結果.由於使用列表法和畫樹狀圖法的頻率較高,久而久之,很多同學淡忘了直接列舉法,看到題就列表或畫樹狀圖分析.而當遇到一些列表和畫樹狀圖分析比較困難的題目的時候,往往無從下手.
例4 (2016·南京)某景區7月1日~7月7日一周天氣預報如下.小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區旅遊.求下列事件的概率:
(1)隨機選擇一天,恰好天氣預報是晴;
(2)隨機選擇連續的兩天,恰好天氣預報都是晴.
本題很多同學用列表或畫樹狀圖分析時感到困難,無從下手,其實回到本質直接列舉,反而簡單.(1)P(A)=[47].(2)隨機選擇連續的兩天,天氣預報可能出現的結果有6種,即(7月1日晴,7月2日晴),(7月2日晴,7月3日雨),(7月3日雨,7月4日陰),(7月4日陰,7月5日晴),(7月5日晴,7月6日晴),(7月6日晴,7月7日陰),並且它們出現的可能性相等.恰好天氣預報都是晴(記為事件B)的結果有2種,即(7月1日晴,7月2日晴),(7月5日晴,7月6日晴),所以P(B)=[26]=[13].因此我們不能過分依賴列表法和畫樹狀圖法,在分析所有可能結果時舍本求末,忽視簡單事件中可以直接列舉所有可能結果的情形.需要提醒的是,還要注意書寫的規範性,不能遺漏如「具有等可能性」這樣的條件說明.

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