麥哲倫環航地球真的能證明地球是圓的嗎？拓撲學告訴你答案！

第一部分 大航海時代

十五-十六世紀的歐洲人對於遙遠的東方有著諸多幻想，這種幻想很大一部分來自於《馬可波羅遊記》。在《馬可波羅遊記》中（遊記里處於元朝忽必烈時期，也就是成吉思汗遠征歐洲不久），東亞被描述成為物資豐饒、建築堂皇、交通便利的所在，活脫脫一個白富美的神聖形象。白富美通常是可望不可即的，更何況當時歐洲和東亞之間隔了一個高富帥——土耳其人建立的奧斯曼帝國。高富帥身強體壯，沒法強行逾越；而《馬可波羅遊記》只是一本「美女圖冊」而非「泡妞指南」，因此要想追到白富美，還得另想它法。

有人會說，既然高富帥霸佔了陸地，那麼走水路不就好了唄！從現在的科技看來，條條大路都能通羅馬，確實再簡單不過了。但是要注意，當時歐洲大部分人認為地球是平的[1]，如果船航行到地球邊界，會發生如下慘案：

追求白富美的道路是坎坷的

所以當時歐洲大部分人都放棄了對白富美的追求。而麥哲倫則不同，他不僅「色膽包天」，而且堅信地球是圓的：只要心夠狠，往西走也能追到東方的白富美。心動不如行動，他在1519年組建了一支兩百多號人的隊伍，開始了通往東方的極樂之旅[2]。

麥哲倫

可想而知，由於技術的落後，麥哲倫的這次環航之旅充滿了四伏危機與艱難險阻，兩百多人的隊伍最後只有十八人生還，而麥哲倫本人也在菲律賓被當地土著射殺（儘管是他作死在先，硬要強行征服菲律賓）。無論如何，麥哲倫和他的隊伍以親身實踐，甚至以生命的代價將世界上首部「泡妞手冊」印刻在了歷史的車輪上，成為了世界近代史的標誌性事件。有詞為證：

永遇樂·環遊by 小編

黃禍西沖，絲路既斷，鼠疫平川。奧斯帝國，轉物提資，困獸無東遷。黃金似夢，極樂難尋，天門此消彼現。辟航路，先輩作古，英傑縱橫江山。

朽木驚濤，脆帆危桿，唯聞東風相伴。天涯客處，浪子何居？孤海任飄散。跨洋三載，殖民四處，壯志魂歸西天。告後人，世若圓球，天下通連。

其中最後一句話常常作為結論出現在歷史課本上——麥哲倫環航世界證明了地球是圓的。衛星圖片告訴我們地球確實是圓（接近於球形）的，但這是二十世紀以後的事了。出生在十五世紀麥哲倫真的證明了地球是圓的嗎？如果麥哲倫的航行發生在十九世紀，那麼當時的數學家會告訴我們答案：未必如此。

第二部分 數學家眼裡的環航世界

數學家們對局部和整體有著強烈的敏感性。如何從局部的信息推斷整體的輪廓，是現代數學的基本思想，並且這一思想誘發了大量前沿概念的產生（例如流形、向量叢、纖維從、層、譜序列等）。儘管麥哲倫環航了世界，但他只是走了其中的一條航線而已，如何從一條航線這一局部信息就能給出「地球是圓的」這一整體性的結論呢？

數學家可以提出很多地球形狀的假設來擬合麥哲倫的航行結果，例如：

地球的可能形狀

所以單從一次航行的結果看來，我們是無法判斷出地球長什麼樣的。

那麼如果假設麥哲倫和超級賽亞人一樣擁有無窮精力，把每條環球航路都試了個遍，是不是就能肯定地球是圓的了呢？答案依舊是否定的，這充其量只能排除「莫比烏斯帶」的情況（因為莫比烏斯帶的邊緣是尖的，船繞不過去）。如果地球是圓的，那麼從同一個地點出發的幾條航線如下圖所示：

儘管這幾條航線南轅北轍，他們之間存在某種「相似性」（例如上圖中這幾條航線可以通過繞球心旋轉相互轉換）。而如果地球是一個圓環面，情況就不一樣了：

無論怎麼「連續」變換，我們可以發現，這兩種航線都是不可能重合的。在數學裡面，用同倫變換（Homotopy，也就是我們平常所說的拓撲變換）來表示這種「連續」的變換。這裡的「連續」加了一個引號，是因為在不同的數學分支裡面，「連續變換」有不同的含義，以下是大致總結：

我們可以從中看出，就算是看似相似的兩個分支（例如代數拓撲與微分拓撲，這兩個分支的基本思想有較大的差別），對同一個直觀概念也有不同的理解方式，而正是這些不同的理解方式造成了數學分支的多元化發展，也同時鑄就了這些不同分支之間的相輔相成。尊重並了解不同分支的不同思維習慣，是全面掌握這一分支的前提。相信上面這張表對讀者們了解現代數學的發展情況會有很大幫助。

我們回到圓環面的話題。我們把那兩條「同床異夢」的航線的同倫等價類（見下圖）分別記作a和b。龐加萊（對，就是龐加萊猜想的提出者和混沌系統的發現者）在1895年首次給出了兩條不同航線a和b之間的「乘法」（這種乘法非常符合幾何直觀）[3]，因而賦予這些航線的同倫等價類以群的結構。龐加萊把這個群稱作基本群（fundamental group），記作π1(M)（M在這裡表示任一曲面，比如此處的圓環面。為簡單起見我們只考慮道路聯通的曲面）。

圓環面的基本群有兩個自由生成元，且兩者互不相關，因此圓環面的基本群就是Z×Z，（兩個整數群的直積，不熟悉群論的讀者可以跳過），而球的基本群則是平凡（trival）的。不同曲面（幾何對象）的異同，可以在一定程度上從基本群的異同中看出端倪，這樣就把一個直觀卻難以描述的拓撲問題轉換為了一個抽象卻可以計算的代數問題。

一些細心的讀者注意到，基本群π1(M)中間有一個「1」，那麼有沒有π0(M)，π2(M)，πn(M)呢？答案是肯定的，這些群被統稱為同倫群（homotopy group，嚴格定義可參考[6]的第一和四章），而基本群π1(M)又被稱作第一同倫群。數字「1」表示麥哲倫走的航線是一維的，如果航線是n維的（n維球面），對應的同倫群就是第n同倫群（見下圖）。一個有趣的現象是，二維及以上的同倫群都是交換群，但基本群一般說來不是交換群。這也賦予了基本群在代數拓撲領域的特殊地位。

同倫群是描述曲面（幾何對象）連通性的最有效方式

到現在為止，讀者們也許對拓撲和幾何的區別有了點懵懵懂懂的印象。我們所熟悉的幾何是一個古老的學科，它研究「形」的方方面面，例如線段長度、面積大小、垂直平行關係等等。從這個角度看來，拓撲算是幾何的一個分支，只不過拓撲學（特指代數拓撲）的基本思想是以不變應萬變，它只關心曲面（幾何對象）的內在不變性（例如同倫群的結構），而不關心曲面的面積、曲率等。麥哲倫的時代還沒有拓撲的概念，所以才會犯下這個以偏概全的錯誤。

第三部分 歐拉公式泄天機，曲面自成同調群

儘管同倫群能很好地描述曲面的連通性，它有有兩個最大的問題，一是高維同倫群計算過於複雜，需要綜合調用其他數學分支的思想（最常用的方法是纖維化）；二是不能很直觀地描述一些拓撲不變數。例如圓環面上的「洞」（數學上稱之為虧格）就難以用同倫群來描述。

如何解決這一難題呢？在十九世紀中葉，義大利數學家貝蒂（Betti）從歐拉多面體公式中獲得靈感，使得任何曲面都可以有類似於歐拉公式那樣的結論。我們先來回憶一下歐拉多面體公式的定義：

這個公式只對多面體適用。要知道曲面可是很圓滑的，圓滑的人總是要比有稜有角的老實人難對付點。怎麼把它推廣到任意曲面上去呢？答案：強行把圓滑的曲面進行剖分，創造出它的棱和角。例如對於圓環面，可以考慮方體剖分（傳統的做法是三角剖分，但兩者並無實質區別）：

這樣就可以應用歐拉多面體公式了！不過正如上圖所示，同一個曲面可能有不同的剖分方式，而貝蒂則證明了無論如何剖分，面數-邊數+頂點數都是一個常數，而且這個常數只和曲面上「洞」的個數（虧格）有關。這一結論可以被拓展到高維情景，並且貝蒂把高維「點數、面數、邊數」的某種等價類定義為貝蒂數（Betti number，貝蒂稱之為「同調數」）。也許貝蒂不會想到，他的這一思想會成為現代代數拓撲的核心思想。

值得一提的是，就算強如龐加萊，也沒能發現貝蒂數中竟然也蘊含著群的結構（也就是同調群），這點令後來的數學家們感到詫異[5]。同調群的引入已經是二十世紀以後的事情了，它能比貝蒂數更全面地反應對應曲面（幾何對象）的拓撲結構。所以若要確定某個曲面的拓撲結構，歸根結底，就是計算該曲面的同調群。同調群的準確定義可以參考文獻[6]的第二章（第一章是講基本群，完全可以跳過）。

和同倫群一樣，同調群也有維數之分，不同的是n維同調群反應了n維單形（也就是n維的點線面）的信息，而n維同倫群則反應了n維「航線」的信息。這一差異也最終導致了兩個概念的殊途而不同歸——同調群的計算比同倫群簡單一些（儘管也很麻煩），且更能直觀反應曲面的拓撲不變數；而同倫群更能反應曲面的各種連通性。

第四部分 高維拓撲何以尋？同調代數穿針線

上一節中提到過，確定某個曲面的拓撲結構就是計算該曲面的同調群。所以二十世紀代數拓撲一個核心課題，就是如何計算不同曲面（幾何對象）不同維數的同調群。這個話題一直活躍到今天。

計算同調群看起來輕鬆，實際上頗為不易，因為高維的幾何對象沒辦法直接想象出來，只能像寫家書一樣系情於紙筆，用低維曲面把高維曲面簡化出來。於是我們自然會聯想到一個問題：有沒有辦法通過數學的語言，把高維同調群和低維同調群「聯繫」起來，從而通過低維的同調群推導出高維的同調群呢？這便是同調代數（Homological Algebra）這個數學分支的精髓所在。而這種「聯繫」高維和低維同調群的手段，被稱之為長正合鏈（Long exact sequence）。

有長必有短。短正合鏈（Short exact sequence）中只囊括了三個相同維數曲面之間的關係，是很容易得到的。可不可以從短正合鏈出發，得到一個長正合鏈呢？以下定理（這個定理非常重要，但似乎沒有名字）告訴了我們答案：

這一張圖反應了同調代數的一大精髓

上圖中最後一行的長正合鏈，被廣泛地運用於計算一些特殊幾何對象的同調群（例如實射影空間，通過選取不同的A，B和C來實現）。所以，同調代數在代數拓撲中扮演的，就是穿針引線的角色！

當然對於一些比較複雜的幾何對象（例如旋轉群SO(n)等），光用上面這種方法是不行的。同調代數中的另外一種方法，譜序列（Spectrum sequence），可以完成這一任務。譜序列的思想來源可以追溯到複分析中的一個問題[7]（Mittag-Leffler問題，也就是如何用一些局部信息確定黎曼面上的一個全局亞純函數）。而這個問題的解和某種同調群（Čech同調群，這個同調群依賴於局部覆蓋的選取，可以看做是包含了局部信息的同調群）直接相關。而Čech上同調正是由譜序列的方法得到的。

由於依賴於局部覆蓋的選取，Čech同調群（homology或cohomology）在計算上具有很大的靈活性。但一個強烈依賴於局部幾何信息的群，如何揭示出所在曲面的拓撲性質呢？這就是法國數學家勒雷（Jean Leray）在1946年得到的重要結果——勒雷定理[6,7]（當覆蓋無限加細后，Čech同調群就是單純同調群）。其證明方法需要用到（纖維化）的思想，可參考[6]的第三章或[7]的第四章。

勒雷

值得一提的是，勒雷也是一位偏微分方程的專家。他的標誌性成果是把拓撲度理論的概念引入非線性方程中，從而提供了一個研究偏微分方程的全新視角（例如文獻[12]第十一章）。這種方法常常被用作判斷微分方程解的存在性和解的個數，以及解的穩定性。

第五部分 總結

儘管代數拓撲是一門相對年輕的數學分支，其實它的主要思想都是來自於對幾何對象的數學描述，這些思想的基礎就是第二和三章的內容，看似不拘一格實則清晰直白，易於想象。有了基本思想的牽引，數學計算也只是瑣事一件。這和我們中國小階段的數學有很大區別，因為我們大都習慣了繁瑣的計算，這樣在相當程度上抑制了我們的想象力。

國內學生習慣的是這種繁瑣卻又重複的計算

除此之外，小編還希望通過這篇文章，讓讀者們初步感受到現代數學的魅力，以及不同數學分支之間是如何交融在一起的。數學上許多很「天才」的構想，都是受到了其他數學分支，甚至數學以外的學科的影響。例如本文中同調群的計算方法來自於同調代數，而譜序列的思想起源於複分析。初次學習這些概念的讀者一定會遇到很大困擾（小編就是如此），但如果能從歷史的角度觀察它們是如何一步步形成的（這個思想在小編的文章[13]中提到過），我們會發現，許多看似不可思議的構想實際上都是很符合直觀的。

其實理論數學和應用數學並沒有太大的鴻溝。例如代數拓撲，不僅在粒子物理領域找到了自己的一席之地，最近還在神經科學中（更準確地，是描述位置細胞place cell之間的相互溝通）初露頭角[9-10]；其中緣由，正是從一個簡單的小白鼠實驗（小白鼠對地點的記憶更多取決於place cell網路的拓撲結構，而非幾何結構）找到了靈感[11]。因此在二十一世紀的今天，生物學將會成為數學的發展方向之一。

最後，讀者們若有機會環遊全球，要特別注意航行方向。因為如果地球不幸變成了一個圓環面，而你卻繞著南北方向航行，那可就虧大了。

參考文獻：

[1] http://www.history.com/topics/exploration/ferdinand-magellan

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Magellan#Fleet

[3] http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/poincare2009.pdf

[4] J. Munkres, Topology.

[5] http://www.ams.org/journals/bull/2012-49-04/S0273-0979-2012-01385-X/S0273-0979-2012-01385-X.pdf

[6] A. Hatcher, Algebraic Topology.

[7] 馬天，流形拓撲學：理論與概念的實質。

[9] Y Dabaghian et. al,A topological paradigm for hippocampal spatial map formation using persistent homology.

[10] R. Ghrist et. al,Barcodes: the persistent topology of data.

[11] EI Moser et. al,Place Cells, Grid Cells, and the Brain's Spatial Representation System.

[12] Gilbarg and Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order.

[13] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483952&idx=1&sn=62cd64ee278786e3a4f4efb4a83770fb&chksm=e86a2417df1dad01db33cdaffaa191b2cbab5c75edbd480435bcdbe854c5d07ce6cca40d4d79#rd

作者：sd_equation

本文由公眾號科普最前線（ID：kpzqxyxg）授權轉載

編輯：Alex Yuan

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