「不可不知」函數的性質及公式

函數的性質

有界性

設函數f(x)在區間X上有定義，如果存在M>0,對於一切屬於區間X上的x，恆有|f(x)|≤M，則稱f(x)在區間X上有界，否則稱f(x)在區間上無界。

單調性

設函數f(x)的定義域為D，區間I包含於D。如果對於區間上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調遞增的；如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f(x1)>f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

奇偶性

設 為一個實變數實值函數，若有 f(-x)= - f(x) ，則 f(x) 為 奇函數 。幾何上，一個奇函數關於 原點 對稱，亦即其圖像在繞原點做 180 度旋轉后不會改變。奇函數的例子有 x 、 sin(x) 、 sinh(x) 和 erf(x) 。設 f(x) 為一實變數實值函數，若有 ，則 f(x) 為 偶函數 。幾何上，一個偶函數關於 y 軸對稱，亦即其圖在對 y 軸映射后不會改變。偶函數的例子有 |x| 、 x2 、 cos(x) 和 cosh(x) 。偶函數不可能是個雙射映射。

周期性

設函數f(x)的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對於任一 有 ，且 f(x+T)=f(x)恆成立 ，則稱 f(x) 為 周期函數 ， T 稱為 f(x) 的周期，通常我們說周期函數的周期是指 最小正周期 。周期函數的定義域 D 為至少一邊的無界 區間 ，若 D 為有界的，則該函數不具周期性。並非每個周期函數都有最小正周期，例如 狄利克雷函數 。

周期函數有以下性質：

（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，則-T也是f(x)的周期。

（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(x)的周期。

（3）若T1與T2都是f(x)的周期，則 也是f(x)的周期。

（4）若f(x)有最小正周期T*，那麼f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分別是f(x)的兩個周期，則T1/T2∈Q（Q是有理數集）

（6）若T1、T2是f(x)的兩個周期，且T1/T2是無理數，則f(x)不存在最小正周期。

（7）周期函數f(x)的定義域M必定是雙方無界的集合。

連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

設f是一個從實數集的子集射到的函數：f在中的某個點c處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足：

f在點c上有定義。c是其中的一個聚點，並且無論自變數x在中以什麼方式接近c，f(x) 的極限都存在且等於f(c)。我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的連續，如果它在其定義域中的任意點處都連續。更一般地，我們說一個函數在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每一點處都連續。

不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來定義實值函數的連續性。

仍然考慮函數。假設c是f的定義域中的元素。函數f被稱為是在c點連續當且僅當以下條件成立：

對於任意的正實數，存在一個正實數δ> 0 使得對於任意定義域中的δ，只要x滿足c - δ< x < c + δ，就有成立。

凹凸性

設函數 在 I 上連續。如果對於 I 上的兩點 ，恆有 ， 那麼稱第一個不等式中的 是區間 I 上的 凸函數 ；稱第二個不等式中的 為嚴格凸函數 [4] 。同理如果恆有 ， 那麼稱第一個不等式中的 是區間 上的 凹函數 ；稱第二個不等式中的 為嚴格凹函數 。

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