從質點幾何到九種平面幾何

1)質點幾何：國中時代

相信這裡絕大部分人和我一樣，都讀過那麼一些書，一本或者幾本，這些書曾經深深地影響過他們自己。特別是中學時代，因為那時大家都慢慢俱備了一定的閱讀理解能力，但是另一方面腦子裡的世界觀卻還比較單薄，容易受外界的影響，所以那時用心閱讀過幾本好書往往能對自己的世界觀乃至學業、性格等產生很大的影響。我相信許多人都有這個體會，對不對？

我這個人以前比較懶惰，讀書不多，能逃避就逃避。這裡註冊的會員，如果單論文學作品，不是我謙虛，隨機挑一百人的話，肯定有九十五個人的閱讀量超過我，因為我只看過很有限的一些書，例如魯迅全集，我就不曾看過，至今也提不起興趣去看。但是，我看過的那些書，特別是中學時代讀過的，許多都影響過我。如果細數起來，哪本書對我影響最大呢？答案是「九種平面幾何」，因為這本書差點改變了我的學業。

平面幾何，大家都知道是怎麼回事情，國中初涉平面幾何(國小那些簡單的東西不算)，我就喜歡上這門課，相信這裡許多人也一樣。其中有些命題，簡潔優美，非常有趣，但是有些推理證明，難度卻很大，能讓人想破腦袋。那時我人很懶，應付功課倒不成問題，但是若論主動做點習題，主動讀點功課以外的書，那無異於天方夜譚。偏偏那時我是老師和學校心目中參加數學競賽的主要人選之一。

話說那個學期學完三角形后，數學老師將我和別的幾個人叫去，給了我們一些題目，至今記得的有兩個，證明西瓦定理、梅涅勞斯定理及其逆定理，第二天得給出證明，交卷。

作為學生，我雖然很懶，但是如果老師給我什麼差事，我一般還是老老實實完成，怎麼說也不能明著讓老師失望，是不是。照例，我那天晚上試圖證明這兩個定理，可是左一實線，右一虛線，弄得滿頭大汗，草稿紙是撕了一張又一張，可是就是證明不出。這樣折騰了好幾個小時，我一會兒灰心喪氣，一會兒惱羞成怒，自信心那不用多說，當然是嚴重受挫，似乎掉進了冰窟窿里。

第二天，關於這兩個定理的證明，我交的是空白卷。在數學老師面前，我刻意裝出一副無所謂的樣子，其實內心羞愧死了。心裡又估摸著你以後大不了不讓我參加這勞什子競賽，這對我或許還是好事。不料數學老師很委婉地說了我幾句后，說這兩個定理你能否證明，其實一點也不重要，重要的是它們能訓練你怎麼樣去系統思考，怎麼樣做到有條不紊。

證明幾何題真能訓練系統思考，能做到有條不紊？我有些吃驚，因為我向來是拿起題就做，毫無章法，東一槍，西一炮的，做完后又拋諸腦後，然後是去瘋玩，最多準備點說辭在父母面前搪塞。老師見我不信，說你回家看看這本書吧，依你的悟性，只要不懶，應該能看懂的。說罷借給我一本平裝三十二開的書：「質點幾何學」，只是因為事隔好多年，書的作者是誰，哪個出版社出版的，現在都沒有印象了。

那本書我前後起起落落大約看了兩個月，迷迷糊糊、似懂非懂地看了個大概，因為是借的，所以儘可能地要早點歸還(儘管我的數學老師肯定不在意我拿多久)。質點幾何學和中學課本那些東西截然不一樣(當然內容差不多，都是平面幾何是不是，但是其表述截然不一樣)。從中我開始知道什麼是笛卡兒標架，什麼是矢量，甚至能照瓢畫葫蘆一般知道計算矢量的內積和外積。當然，質點幾何學的核心部分是將平面幾何的點看成是帶質量的點，一個給定的幾何圖形就是一個轉動意義下平衡的圖形(大家知道，這相當於牛頓物理中的槓桿原理和動量矩守恆)。用質點幾何學，我能三下五除二地證明我早先一籌莫展的西瓦定理、梅涅勞斯定理及其逆定理。當然，我不能在真正的數學競賽里用上質點幾何，但是這本書卻給我帶來了震撼和欣喜。

以正統的教科書眼光來看，質點幾何學是某種意義上的奇山異石，或者旁門左道。既然是奇山異石或者旁門左道，它自然是饒有趣味的，因為它不會讓你覺得千篇一律的混凝土，而是讓你覺得像一條林中小徑，讓你相信前方有一些不知名的蘑菇或者野花待你去採摘。而那時的你是天真無邪的，無憂無慮的，目光是晶瑩的，手心是空的，那林中小徑是你能想像得到的最美的景色之一。實際上那本書是我整個國中時代讀過的集知識和趣味於一體的少數幾本書之一，和那些令人生厭、令人頭疼的習題集或者教科書相比，它可愛得多。它讓我相信，學習知識原來真的可以走不同的途徑，殊途同歸。從此，我對數學的興趣上升了半個台階，儘管還是和以前那樣學得浮躁，一點也不踏實。

我那位國中數學老師將我從初一帶到了初三。初三后，因為某種特別的原因我沒有參加中考，而轉入了另外一所中學，也就是我一個表姐任教的中學，繼續讀高一。當然啦，大家千萬不要懷疑我沒有參加中考而轉入另外一所中學是因為我害怕考試而走後門......其實兩者沒有什麼關係，我國中所讀的學校恐怕比就讀的高中更好一些。之所以轉校，完全是因為一個表姐在那裡教高中的緣故，老爸授權表姐對我進行適度的管束，比如說，如果我上課經常遲到早退的話。就這樣，那位曾經讓我覺得學習數學原來還能有一些趣味的國中數學老師就慢慢淡出我的視野，從此之後再也沒有聯繫。現在想來，那位數學老師其實是個年輕的帥哥，儘管當時並不怎麼覺得，呵呵。

打國中開始就知道我們所學的平面幾何是歐氏(歐幾里得)幾何，它基於五個公理以及一些「合理的」定義，其中第五個公理並不能由之前的四個公理推導出(亦即它在歐氏幾何里確實必須以公理的形式出現)，儘管我至今也無法證明它必須是公理。那時知道有兩個另闢蹊徑的數學家，一個是俄羅斯的羅巴切夫斯基，另一個就是德國的黎曼，先後否定歐氏幾何第五公設而獨立提出了兩套和歐幾里得幾何平行的新幾何：羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼幾何。我歷來對旁門左道的知識感興趣----當然話說回來，與其說這是出於某種求知慾，還不如說是出於某種獵奇心態----對自己的功課卻不太感興趣。所以，儘管自己中學數學學得並不怎麼樣，但是那時在自己的能力範圍內對羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何表現得饒有興趣(主要是黎曼幾何，因為我可以在歐幾里得圓上實現黎曼幾何，這樣就為學懂黎曼幾何作了很好的鋪墊)，因為學習這些不僅能滿足自己的獵奇心態，而且能在同學們面前口若懸河般吹牛，這對彌補我功課學得不紮實的形像肯定有好處的。當然，興許最主要的原因是學習這些旁門左道的知識無須考試。如果像學歐幾里得幾何一樣需要考試的話，我恐怕早就逃之夭夭、懶得學了。考試多煩呀，是不是？

2)雅格龍之九種平面幾何：高中時代

高一學習相對輕鬆。我除了上課喜歡講小話、偶爾遲到早退等不算多嚴重的缺點外，基本上是個循規蹈矩的好學生。那時真是處在無憂無慮的年紀，衣食住行這樣令人心煩的事情，父母早就給我包辦了，我的唯一任務就是在成績通知單上取得幾個好看的分數，而這對我而言並不是很難的事情，儘管我高一歷史期中考試差點兒不及格。因此，那時有時間辦牆報和黑板報，有時間參加課外活動小組，有時間開玩笑，或者去助人為樂讓自己保持某種難以言說的舒暢心情。當然，我也必須承擔某種似乎是天經地義的責任：代表年級(自然就是學校)參加奧林匹克競賽，為學校爭光。我至今不明白那是一種壓力還是一種動力，也判斷不出它給我帶來的是生活中的榮耀還是累贅，儘管我自問從來沒有那份天賦。但是那時人很單純，老師和學校吩咐的、期待的，儘管我可能不願意，但是表面上還是得微笑著接受，儘管接受之後往往是某種患得患失的心態伴隨著我，而我一旁卻不能將這種患得患失的心態表露出來，因為父母和老師早就假設了我與生俱來有某種承受能力，因為吃苦耐勞作為一種美好的品質，早就被深深地灌輸到我們的腦海里。如果我企圖逃避責任，父母的心就會被刺傷。

記得還是高一的哪天，和另外一、兩個同學「奉命」去數學老師的辦公室。辦公室是個比較大的集體辦公室，去的時候那個辦公室幾乎是空的，包括我們的數學老師在內，一共也只有兩個。去的時候數學老師手頭還有些事情沒有最後完成，於是我們就在那個辦公室閑坐或者閒蕩，以打發時間。忽然，我看到某個辦公桌上有一本大32開的平裝書：「九種平面幾何」，眼睛頓時一亮。眼睛一亮之後轉而就是滿腹狐疑：不是一共才三種平面幾何(亦即通常的歐幾里得幾何，以及羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何等兩種非歐幾何)的嗎？怎麼一下子又冒出了六種？是不是騙人的？要知那羅巴切夫斯基已經非常有名了，那黎曼更是不得了，可以說是數學史上最偉大的幾個數學家之一呢，儘管他英年早逝(不到40歲就因早年的貧寒和疾病死亡)。歷史上的數學大師我大都能知道個大概，怎麼就不知道誰和誰發現了另外六種平面幾何呢？奇怪了！受好奇心驅使，我忙用眼睛掃了掃辦公室，稍微提高些聲調說了句「哦，九種平面幾何」，然後又刻意笑了笑，也不管書是誰的，禮貌不禮貌，拿起來就看(自然是先看封面和封底，呵呵)。這時我那數學老師大概忙得差不多了，見我從辦公桌上拿本書在看，似乎覺得要交代一句，就朝另外一個老師解釋道：「這是我的學生，XX老師是她的表姐。」另外一個老師聽見我是XX老師的表妹，忙抬頭笑道：「感興趣是吧？要是感興趣，拿回家去看就是了，我給你打個招呼。」我有些訕然，有些發窘道：「是很有意思的，如果這位老師能借我幾天就好了......如果到時有興趣，我就去袁家嶺新華書店去買(當時大約是長沙最大的書店)。不過，這位老師不在，到時我來這裡直接找這位老師借好了。」

我將書名、出版社名(記得好像是上海科技出版社)、ISBN、定價等抄寫到一張紙片上，出了辦公室。第二天我直接找這個老師借到這本書，平裝大三十二開，並說，我周末就去書店買，如果沒有買到，就找出版社直接郵購，買到后就將書歸還。那位老師說，這本書好像沒有再版，第一版出版時間已經好多年了，即使找出版社，恐怕也難得買到。

周末按照計劃跑了五一路新華書店和袁家嶺新華書店，只是，天知道我是刻意去買書，還是假借其名去逛街。那時儘管年輕，體力好，但是商場和書店都很擁擠，小半天時間，腳板根兒就可以踩成兩截，特別是在中山路百貨大樓之類的地方，那擁擠程度，稍不甚，錢包就可能不翼而飛。結果雅格龍的九種平面幾何沒有買著，倒買來了別的幾本書：有些是給自己買的，有的則是給別人買的。給自己買的書，內容可能很雜，但是肯定沒有習題集，因為我不喜歡做習題。有的習題很難，耗費我腦細胞之餘還嚴重地打擊我的自信心，我覺得得不償失。我當然不希望自己過於平庸，但是若在迎接挑戰和得過且過之間選擇的話，我寧可選擇後者。那些送給別人的書則是我自作主張挑選的，別人喜歡不喜歡不是我考慮的，我無緣無故送別人書的主要目的，我現在想來，還是基於潛意識下推銷自己對某些學科特別是非課堂知識的理解，希望得到別人的認同。那些送出去的書，我其實也基本上看不懂，但是那沒有關係，因為我如果看不懂，別人也基本上看不懂，而我多少略知皮毛，所以我總是有在別人面前吹噓和海闊天空的資本，儘管我說的大部分是錯的，但是別人並不知道我說的是錯的。

於是只好回頭啃那本借來的書，同時與上海科技出版社聯繫。古人所云，書非借不能讀也，還真的有道理。我沒法知道能否從出版社買來此書，又不好意思從那位和我並不熟的老師那裡借很長的時間，所以只好抓緊時間閱讀，只不過書不是自己的，素來喜歡在書上做記號划橫線的我只好忍得牙痒痒的。那本書的譯者是誰我忘記了，但是作者雅格龍卻深深地印在了我這木木笨笨的腦袋裡。作者雅格龍是俄羅斯人，據譯者所記載，原書名是《伽里略相對性原理和非歐幾何》，但是書比較長，譯者選擇了翻譯前兩章，外加一個很長的附錄，《九種平面幾何》這個書名實際上是譯者加上去的。書並不難，我那時勉強就能看懂大半，算得上是深入淺出，那種行文之優雅、結論之簡潔、論證之巧妙，讓我不得不和藝術品這個詞語聯繫起來。後來我成了學校數學和物理兩科的奧賽成員，高二就開始學一元初等微積分，間接地知道了以俄羅斯人為代表的東歐人的厲害，那種嚴謹和簡潔，以及訓練有素，再加上《九種平面幾何》等書的行文之風，讓我對俄羅斯、波蘭、匈牙利的學生敬畏了許多年，直到我研究所學業階段。

當上海科技出版社最終將據說已是所剩無幾的《九種平面幾何》之一寄給我時，我已經將那本借來的書看得差不多了。當收到那本渴望已久的書時，我心裡忽然產生了一種怪念頭，希望自己能變得激動起來，因為自己如果還能激動的話，那就表明了我對學習新知識還是很渴望的，也就是說，我以後基本上還能更上一層樓。我拆開了書，很新，散發出一種淡淡的書香，給我的感覺是那般遙遠和熟悉，像某種君子之交的朋友，儘管我至今也沒有為它激動過。從書中我知道了平面幾何依照邊和角的度量是橢圓形、雙曲型或者拋物型而分成九類，例如最簡單的歐幾里得幾何，其邊和角的度量都是拋物型的，黎曼幾何對應於橢圓-拋物型。從代數角度而言，每種平面幾何對應於某種變換群的不變數論(這就是德國數學家克萊茵著名的埃爾朗根綱領，對數學本質的理解產生了深遠的影響)，例如歐幾里得幾何對應於伽里略變換群(從物理角度而言，這就是牛頓經典力學)，洛淪滋變換群實際上對應於電動力學和狹義相對論。那時初步感覺到了數學和物理之間這種簡單和對稱之美，儘管以後我沒有繼續學這兩門學科之一，但是這種簡單和對稱之優美，卻足以震撼人心，給人以歡愉和快樂。我覺得，現在有些詩人大談特談什麼數字和詩歌之聯繫，或者什麼詩歌之美的科學根據，那完全是無稽之談。文學里諸多理論中唯一稱得上美的，只有近體詩歌的格律理論，但是其美給你的感受，卻和能真正領悟伽里略變換群和牛頓力學之間本質上是一回事情給你的震撼，那還是遠遠不能相提並論的。

這本書儘管我以前非常喜歡，但是其內容我現在也只能記得個大概了。1999年我初次離家去北京上學，我就將它帶在身邊，後來我還令人驚奇地學了一年的統計，我不知這本書曾經給我帶來的潛移默化在其中起了多大的作用。來美國前因為行禮很重，很多書就只能留在老家那個書櫃里。那個書櫃是父母為我特地買的，我的國小課本、中學課本、許多大學課本以及幾本日記、畫過的一些畫、一疊獎狀和榮譽證書等，如今都塵封在那個柜子里，沒有誰去動它，包括我父母，也不會去刻意動它，最多為它撣去落塵，使得那份記憶、那份全家享受天倫之樂的記憶保持新鮮，不忍心讓它蒙上灰塵。

書的最後部分是個附錄，很長，大約有幾十頁，主要內容是用仿射幾何，從慣性參照系中光速不變這個假設(基於著名的邁克爾-莫雷實驗。這個實驗和伽利略比薩斜塔實驗一起，是人類歷史上最重要的兩個實驗，後者導致了文藝復興和牛頓經典物理學)出發，很美妙、很簡潔地導出了絡倫滋時空變換和狹義相對論。那種推導之美妙給我帶來的震撼猶勝於幾年前用質點幾何證明西瓦定理和梅涅勞斯定理，因為後者所涉及的只是平面幾何而已，其本質在笛卡兒的坐標架下早已一覽無餘；而前者，它則向我展示了原來物理和數學是那樣的相通、一脈相承，其本質是那樣的簡潔、對稱和完美。從此我對學習數學和物理的興趣大增----這種興趣並非只是不對功課和作業的心理上產生抵觸，而是似乎從本質上對它們產生了某種「戀情」。

那時，雖然還只是高一，但是很明顯，班上已經有同學開始刻意偏科。有的同學，特別是女同學，開始對物理愛理不理的，轉而刻意閱讀歷史，因為那些物體受力分析將他們害得很苦。那時我知道他們在偏科，但是不理解。那時的我想必是非常的單純，幾乎一塵不染。我那時懵懵懂懂，無法體會出他們之所以偏科是在為兩年後的聯考提前做準備，我不俱備那種可貴的早熟品質。如果那時誰問我我以後是學文科還是理科，我會無法回答的，因為我似乎從來不考慮這些，儘管顯然我的理科比文科強不止一個檔次；我歷史差點兒不及格，但是我討厭它嗎？根本就不，儘管我也不喜歡它。那時偶爾也幻想過以後當一名醫生(因為我父親曾經是醫生)，儘管我父親不希望我涉足那涉及人命的領域去承擔風險；有時又幻想去當名國小教師甚至幼稚園教師，因為那種輕鬆和寧靜能讓我有更多的機會閉起眼睛休息，我當然知道那樣的工作是簡單的，會讓自己滋生一種慵懶和惰性，但是這並沒有什麼，我對世界本來就所求無多。

之前我學得最好的功課大約是化學和地理。這倒不是因為我多麼喜歡這兩門功課，也不是因為我刻意花了多少時間。事實上我幾乎沒有刻意在它們身上花時間，而且對化學還有點討厭，因為它太雜，太羅嗦，但是令人驚奇的是，它們竟然是我學得最好的，特別是涉及天文地理之類的東西，我幾乎能過目不忘。我因為佩服巴爾末，幾經折騰總結了一個化學元素電離能規律的公式(上大學后我才發現那不過是量子力學的一個結論，但高中時代的我是不知道的----不但我不知，我的高中老師也不知，現在回想起來，原先我很佩服的化學老師實際上也不怎麼樣，呵呵)，利用學校實驗室的資源「造」出了綠色圓珠筆的油墨，用排列組合推導出了化學反應平衡常數的公式。於是乎，我成了化學老師眼中的香餑餑。化學老師要將我培養成為中學生化學聯賽的主力，為學校爭光，並許諾給我特權，例如能自由進出學校的實驗室。

不過當我知道了用仿射幾何導出洛倫滋時空變換公式后，我對學習物理和數學的興趣大增。那時我異想天開，沿襲那種方法推導這個、推導那個，企望能得出讓自己高興的結論。現在我還記得那時我得到過兩個最「成功」的結果：

A)在假設孤立系統里能量守恆、物體質量是速度的因變數的前提下推導出愛因斯坦的質能關係式：E=MC^2，並且靜止質量非零的物體運動速度不能超過某個常數(顯然，這個常數就是光速)。當然，質能關係式是狹義相對論里的一個推論，從物理角度而言沒有什麼新鮮的，但是當時我的確很高興。另外，學習過大學物理的人也知道，能量守恆和時間平移的不變性是一回事情，所以這個推導如果有什麼值得辯論和思索的地方，那自然在第一個假設，儘管它看上去很自然合理；

B)在假設孤立系統里能量守恆、物體質量是速度的因變數的前提下推證了電荷和速度、質量無關(也就是說，即使我假設電荷是速度和質量的因變數，電荷對速度的偏導數是零)。

我不知當時的物理和數學老師是不是很驚異於我的這些看似莫名其妙的推證，反正自那后，我逐漸疏遠了化學，並且最終決定不參加化學聯賽，儘管理論上我可以參加，但是一則我精力有限，我感興趣的是物理和數學聯賽，二則我也不想在自己不感興趣的功課上浪費感情。

如此這般到了高三，我的時間和別人的一樣，流到了太平洋爪哇島。不管我是不是原意，我也到了該考慮以後所學專業的時候了，儘管我是很被動地迎來這一時間。那些早熟的同學早就偏科一兩年了，我還在為自己沒有機會上歷史課而遺憾。父親看得出我對數學和物理的偏愛，總是有意無意地阻止我墮入這樣純粹的理科之中。現在想來，他也害怕我一意孤行真報考數學或者物理專業，因為他知道，只要我考試正常，我基本上想進哪所大學就能進哪所大學，但是過於精明和實際的老爺子也知道，通常情況下畢竟那不應該是一個女孩子應該涉足的領域。他怕我一腳踏入空中樓閣而一事無成，甚至找不到工作。如果我一意孤行，他會臭罵我一頓。老爺子希望我別學那些看不見、摸不著的虛無縹緲的東西，要學點實際些的東西，例如計算機或者金融，就算學無所成，也能保證找份體面的工作，不至於失業(這也是我大學之所以選擇計算機的主要原因，因為迫於老爺子的壓力，呵呵)。每當我犯暈時，老爺子就搬出兩件事實讓我無從辯駁：其一，無論我對數學和物理傾注了多少熱情，它們總不如我的化學那樣出色，其中的根本原因，就在於我的不嚴謹；其二，他拿出那些比我聰明的人做例子，來說明我想讀數學或者物理的荒謬。最有說服力的是我的表姐，我姑媽的女兒，若論IQ和所學之精，當在我之上，絕對不在我之下，當年是立志當個優秀的遺傳學家，剛進北大時還是信誓旦旦的，隨後就歸於沉寂。