如何求解中考數學當中，函數最值類問題

雖然全國各地中考試卷都不太一樣，但很多熱門考點都差不多。我們認真去研究近幾年全國各地中考數學試卷，會發現很多地方都會把求函數最值問題作為壓軸題的考點。

中考數學壓軸題若考到最值問題，絕大部分都是與二次函數相結合。同時二次函數作為國中數學當中最為複雜、難度較高的函數，這就使最值問題更具有難度性、靈活性，突出考查學生綜合能力。

在國中數學學習里，求函數的最大值與最小值很重要一部分內容，也是中考、聯考數學當中常見的題型。其中二次函數求最值問題，更是慣穿著整個國中數學求最值的問題全部內容。

因此，今天我們就一起來講講與二次函數相關的求最值問題，特別是一些典型最值中考壓軸題型，如面積最值問題。

典型例題分析1：

已知二次函數y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點為C，與x軸正半軸的交點為A，且tan∠ACO=1/4

（1）求二次函數的解析式；

（2）P為二次函數圖象的頂點，Q為其對稱軸上的一點，QC平分∠PQO，求Q點坐標；

（3）是否存在實數x1、x2（x1＜x2），當x1≤x≤x2時，y的取值範圍為12/X2≤y≤12/X1？若存在，直接寫在x1，x2的值；若不存在，說明理由．

考點分析：

二次函數綜合題．

題干分析：

（1）首先根據tan∠ACO=1/4，求出OA的值，即可判斷出A點的坐標；然後把A點的坐標代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判斷出二次函數的解析式．

（2）首先根據Q為拋物線對稱軸上的一點，設點Q的坐標為（﹣3/2，n）；然後根據∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，據此求出n的值，進而判斷出Q點坐標即可．

（3）根據題意，分3種情況：

①當x1≤x2≤﹣3/2時；

②當x1≤﹣3/2≤x2時；

③當﹣3/2＜x1≤x2時；然後根據二次函數的最值的求法，求出滿足題意的實數x1、x2（x1＜x2），使得當x1≤x≤x2時，y的取值範圍為12/X2≤y≤12/X1即可。

解題反思：

（1）此題主要考查了二次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了從已知函數圖象中獲取信息，並能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．

（2）此題還考查了待定係數法求二次函數的解析式的方法，以及二次函數的最值的求法，要熟練掌握。

運用二次函數相關知識去解決最值問題，首先要把二次函數所有基礎知識掌握透徹，學會運用。如對於二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）在自變數x取任意實數時的最值情況為：

同時，求二次函數相關最值問題，如果是在實際應用中，我們還要考慮自變數x的取值範圍等各種因素。如根據二次函數對稱軸的位置，函數在所給自變數x的範圍的圖象的位置。

解決二次函數綜合問題，很多時候都需要用到圖象，因此，解決二次函數綜合問題都會運用到數形結合等數學思想。

典型例題分析2：

如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸於點A（﹣3，0）和點B，交y軸於點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標；

（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線於點D，求線段DQ長度的最大值．

考點分析：

二次函數綜合題。

題干分析：

（1）把點A、C的坐標分別代入函數解析式，列出關於係數的方程組，通過解方程組求得係數的值；

（2）設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），根據S△AOP=4S△BOC列出關於x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；

（3）先運用待定係數法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），然後用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值。

解題反思：

此題考查了待定係數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想。

二次函數在自變數的給定範圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那麼最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值。

解決二次函數最值問題，若遇見對稱軸和取值範圍都給定，可分為對稱軸在取值範圍內和不在取值範圍內兩種情形。

若對稱軸在取值範圍內，頂點為最值點，（開口向上為最小值，開口向下為最大值），離對稱軸較遠的一個端點為另一個最值點（前者是最大值則後者是最小值，否則為最大值）。

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