高考名師建議：從一道函數題看高三數學學習法

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高三數學與高一、高二有何區別?這是進入高三同學都很關心的。高三數學表面看是應對聯考，其實，在這一過程中，始終都涉及各種能力的綜合培養與提高。

夯實基礎是高三數學學習的第一關，要把各數學分支的相關基礎知識、基本技能掌握好。由於聯考是選拔性考試，有些試題的綜合性較強，對技能技巧要求較高，因此高三數學學習不僅是要掌握基礎，還要善於解答一些綜合性強的問題，這是第二關。

一道綜合題可以把多個知識點有機的結合起來，因而解題環節多，解題過程長，思維強度大，細心程度高，哪兒出了一點問題都會功虧一簣。我們來看一個例子。

例如：

已知奇函數f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上有定義，且在(0，+∞)上是增函數，f(1)=0;函數g(θ)=sin2θ+m·cosθ-2m，θ∈[0，π/2]。若集合M={m|g(θ)<0}，集合N={m|f[g(θ)<0]}，求M∩N。

本題中N是f(x)的複合函數，且不知其具體的表達式，無法求出M與N的交集。當解題困難時，回到已知，因f(x)是奇函數且在(0，+∞)上是增函數，故f(x)在(—∞，0)上也是增函數。由f(1)=0知f(-1)=0，由數形結合可知，當f(x)<0時可得x<1或0<1。

∴N={m|f[g(θ)]<0]}={m|g(θ)<-1或0<1}，

∴M∩N={{m|g (θ)<-1}。即sin2θ+m·cosθ-2m+1<0，問題轉化為不等式cos2θ-m·cosθ+2m-2>0恆成立。

這是一個雙變數不等式，誰是主元?從條件看是m。但同學們最熟悉的是「反客為主」的解題思想：令t=cosθ，則t∈[0,1]，視為t的二次函數，即：Φ(t)=t2-mt+2m-2=(t-m/2)2+2m-2-m2/4，t∈[0,1]。這是「軸變區間定型」最值問題，分三種情況討論，解得M∩N={m|m>4-2 }。

若從主元m的角度考慮，就會想到用分離變數法來解：t2-mt+2m-2>0 <=> m>(2-t2)/(2-t)，

令h(t)=(2-t2)/(2-t)，則h(t)=t2+2/(t-2)+4≤4-2 => m>4-2 。

本題集合只是一種符號語言，涉及主要知識點為函數、三角、不等式。

本題涉及主要數學思想方法有：

(1)數形結合思想

此題中有兩處用到這種方法，其一是由f (x)<0得x<1或0<1，從而得G(Θ)<-1或0<1;其二是求二次函數Φ(T)在區間[0,1]的最值。

(2)轉化與化歸的思想

把不等式恆成立問題轉化為函數 (或不等式)在閉區間的最值(恆成立)問題是第一次轉化，本來要求m的範圍，卻把m視為常數，轉化為t為變數的二次函數(或分式函數)，「欲擒故縱」是第二次轉化。

本題涉及的技能技巧有：

(1)配方法。不要小瞧它，不少同學配方時經常出錯，要格外注意，尤其是對含參數的二次函數配方。

(2)把二次分式轉化為能利用重要不等式的恆等變形。

(3)函數最值的恆成立問題：若m>f(x)恆成立，且M=f(x)max，則m>M。

(4)分離變數法。

思想方法和技能技巧是解題的明線，還有暗線。這就是每個人的學習方法、意志力和細心程度，而這往往不為同學所重視。同一個問題，水平相當的同學有的同學可以做出來，有的同學做不出來，或同一個問題對同一個人而言，在不同的情景、不同的心態、不同的解題慾望下就會有不同的結果。方法靠平時積累，意志力靠解題培養，也靠一個人的人生觀和價值觀的支持。就本題而言，不少同學剛看到題目覺得頭緒多，條件抽象，感到無從下手，意志薄弱者會放棄，而意志堅強者充滿自信，靜下來認真分析會逐漸發現解法，即使不能完全解到底，也能解答部分。

細心是做好一件事的重要保證，對數學學習有特別意義。有些同學每次考試總免不了犯 「低級錯誤」，丟三落四，離開考場就後悔。每次都以「粗心」為託詞，總是改不了。其實「粗心」的背後有多種原因，有考試環境中的緊張心態，忙中出錯，有基礎知識不牢加上考試緊張造成的常識錯誤，還有一些是平時暴露出來的問題沒有引起重視，考試時集中反映出來等，解決的辦法是要認真對待每一次失誤，找出原因，制定切實的改正措施並落到實處，這樣考試中才能發揮實際水平。少一些遺憾，你的考試就成功了!

本題解答過程較長 (上述是簡寫)，如果轉化為二次函數來解，要解三個不等式組，計算量大，稍有疏忽就會導致錯誤;若用分離變數法，對代數式恆等變形要求較高，且最後一步對抽象思維能力要求較高。這些環節中每步都不能有差錯，才能達到正確結果。

剛進入高三的同學會覺得有些綜合題「彎子太多」，有些知識遺忘，不能很快銜接起來，一時不太適應，一旦適用就好了。倒是一些是平時學習比較刻苦，但靈活性不夠的同學隊綜合題會感到困難。不過這些同學不必自卑，萬丈高樓平地起，有堅實的基礎總能拾級而上，聯考是選拔性考試，不必人人都得滿分。

由此可知，高三數學學習首先要重基礎，掌握基本公式、定理法則，並在解題實踐中學會靈活運用。在此前提下，注重思想方法的運用，提高分析和解決問題的能力，當知識和能力達到一定程度以後，成績的提高取決於細心程度和意志力。

這樣我們知道高三數學學習的狀況是：基礎知識和基本技能掌握情況反映數學水平高低，細心程度決定考試成績，意志磨礪貫穿學習始終。

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