數學能力是人類固有的天賦？有人不這麼看

買菜、找零、理財、看時鐘……生活中處處有數學，我們從小就能處理與數字有關的問題。那麼，這種數學本領從何而來呢？

哲學家、數學家勒內•笛卡爾（Rene Descartes, 1596～1690）可能會說：它們生而有之。以笛卡爾為代表的理性主義流派認為：人類最初的知識是不「學」自明的，從學習中獲得的知識，要麼不準確，要麼就會誤導人；因此可靠的知識不能來自感覺經驗，而只能來自人心固有的天賦觀念。

對此，不少心理學家紛紛表示認同。他們認為存在一種天生的數學內核（mathematical core），通過自我慢慢發展，這種數學內核最後會「長」成我們所熟悉的一切數學能力

。動物和我們一樣，也擁有數學內核。換句話說，只要發展得當，動物們也能「長」出各種各樣的數學能力來。

這匹名為「聰明漢斯」的馬曾被認為可以做計算，不過後來有心理學家發現它只是在根據出題人的暗示做出反應。圖片來源：Wikimedia Commons長久以來，心理學家都支持「數學天賦論」：數學能力是人類自打娘胎里出來就有的能力。有些研究發現，10～12個月的嬰兒已經知道3個黑點和4個黑點是不一樣的

，甚至有研究還發現，剛出生三四天的小寶寶就已經能辨別2和3的差別

。除了咿呀學語的嬰兒，大猩猩、老鼠、鳥、貓、海豚、大象等動物也被證明能夠處理數學問題

。無論是襁褓中的嬰兒，還是遠離「世俗」的動物，它們都沒有機會接觸系統的文化和教養，這些證據似乎說明數學能力是一種與感覺經驗無關的天賦。

然而，在數學認知領域深耕了二十多年的拉斐爾•努涅斯（Rafael Núñez）教授對此表示反對。

努涅斯是加州大學聖地亞哥分校認知科學系教授，近日他在Cell旗下期刊《認知科學進展》（

）上發表了一篇綜述文章

，系統地總結了30餘年來有關「數學能力起源」的論文。在文中，努涅斯旗幟鮮明地反對「數學天賦論」。他表示，過去之所以將數學能力視為一種不學而能的天賦，是因為混淆了一些與之有關的概念，數學能力沒有天賦，只能是文化的產物。「數學天賦論」為什麼是錯誤的？人們對數量的識別和辨認，存在兩種通路

。一種被心理學家稱為「數感」（subitizing），它能在一眨眼之間（通常小於100毫秒）就完成計數任務，而且正確率接近滿分。但是數感的容量有限，一般只能存在1～4個數量。一旦超過4個數量，就該另一種通路「大數表徵」（large quantity discrimination）發揮作用了。雖然大數表徵的容量無限，但它的計數能力非常糟糕，不僅慢而且不準確。

舉個例子，在下圖第一排中，我們一眼就能看出每個方框中各有多少黑點，這是數感作用的結果；然而，第二排就很難一眼看出來了，如果硬要用眼睛看的話，那麼我們只能得到一個近似的答案，這就是大數表徵。

第一排可以利用數感一眼就看出黑點的個數，分別為2、4、3、1；第二排則沒有辦法一眼看出，只能慢一點兒數清楚，分別為6、5、8、7。作者製圖

通過總結，努涅斯教授列舉了數學天賦論的三大問題。

首先，數學天賦論帶有明顯的目的論（teleology）色彩。所謂目的論是指，對現象的解釋是依據它的用處，而不管它的內在形成過程是什麼樣。比如說，目的論認為人之所以有眼睛。是因為人要看東西，而不是因為有了眼睛所以人才能看見東西。數學天賦論對數學能力的解釋正是如此：因為數學在生活中能提高人和動物的生存優勢，所以大自然才選擇了它。但是，作為數學能力生物前提的數感和大數表徵，並不能單獨形成完備的數學能力，後者必須在語言、符號等文化因素的「催化」下才能實現。努涅斯用滑雪運動做了一個類比，身體平衡和直立行走能力都是滑雪的生物前提，但不能因為身體平衡和直立行走是自然選擇的產物，我們就說滑雪技術也是一種天生的本領。

其次，數學天賦論忽視了原始社會居民的情況。目前的研究大多是以現代社會居民作為被試（特別是大學生），他們在實驗中展現出了豐富多彩的數學能力。然而，原始社會居民的數學能力卻十分匱乏。不像現代人的數學系統能表示10個以上數量（比如中文能數到10，英語能數到12），絕大多數的原始部落居民只能表示5以下的數量，更有一些部落的數學系統中只有1和2。這就說明，離開了現代社會這個大環境，人類的數學能力還僅僅停留在最原始的水平上。因此，原始社會中所缺少的文化因素，一定是數學能力發展的必要條件。

最後，努涅斯認為當前動物研究的結果也存在過度推廣。那些能在實驗中展示數學才能的動物們，都接受過特別的訓練。努涅斯在文中就列舉了一項研究，為了學會識別簡單的數字，猴子們學習了近四個月，嘗試了20000餘次，即使這樣，它們的準確率也只能達到75%。而且，實驗室環境也經過了精心布置，有很多細節都有利於動物們表現數字能力。然而，大自然中的動物從來沒有接受過訓練，它們的生活環境也沒有任何人為因素。因此，實驗室中的動物在多大程度上能代表全體動物們呢？這要打上一個問號。或許我們只能說，實驗室中的動物才具有數學能力。

這隻黑猩猩記憶數字的能力甚至超過人類，不過很難說它有沒有數學能力。圖片來源：Tetsuro Matsuzawa數量能力不同於數學能力

努涅斯表示，心理學家過去對於「數學來源於天賦」的誤判，可能與他們濫用名詞有關。努涅斯特彆強調了「數量」（quantitative）與「數字」（numerical）的不同，前者指簡單地感知到不同數量之間存在區別，而後者則是借用符號進行更為抽象的運算。

說白了，心理學家所認為的我們與動物共有的數學能力，應該叫做「數量能力」，它是一種更接近知覺層面的現象，就像我們能感知物體的大小、顏色、方向一樣。努涅斯認為，心理學家將這種知覺現象混淆成了數學能力，他們經常引用的證據，說嬰兒和動物也能區分不同數量，這其實是一種天生的知覺現象，與數學無關。因此，能夠區分「少」和「多」之間的差異，並不能說是掌握了數學能力。只有在經過語言和符號的轉化后，這種知覺現象才能進一步發展為我們現在稱之為數學的那種能力。

在努涅斯看來，分得清3個蘋果比1個蘋果多，並不能等同於數學能力。圖片來源：123rf.com.cn正版圖片庫爭論還在繼續「數學能力是文化的產物」，努涅斯的觀點一經發出便引起了爭議。同一期的期刊上還刊登了德國圖賓根大學動物心理學家安德里亞斯•尼德（Andreas Nieder）的反駁短文

，他認為數學是大腦的產物，而大腦的生長模式早已由基因「預設」，因此數學只能是天生的。雖然大腦有可塑性——大腦隨環境變化而發生改變，但尼德認為這種可塑性的影響微乎其微，因此文化對數學並沒有多少干涉能力。

這兩位同行之間的爭論還在繼續，但無論數學能力是先天還是後天的產物，該學的數學還是要學啊！（編輯：odette）

參考文獻

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