華圖：公務員考試數量關係中常見幾種和定最值問題

1、什麼是和定最值

和定最值：多個數的和一定，求其中某個數的最大值或最小值問題。

2、和定最值中的8種問法及對應的解題要點。

採用逆向求值的思想，若要使某個量大，其餘量儘可能小。

3、常見類型

(1)同向極值問題：

①求最大量的最大值：讓其他值盡量小。

例：21棵樹載到5塊大小不同的土地上，要求每塊地栽種的棵數不同，問栽樹最多的土地最多可以栽樹多少棵?

A.10B.11C.12D.13

解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，則使其他量儘可能的小且接近，即為從「1」開始的公差為「1」的等差數列，依次為1、2、3、4，共10棵，則栽樹最多的土地最多種樹11棵。

②求最小量的最小值：讓其他值盡量大。

例：6個數的和為48，已知各個數各不相同，且最大的數是11分，則最小數最少是多少?

A.2B.3C.4D.5

解析：要求最小數的最小值，則使其他量儘可能的大，又因為各數各不相同，那麼其餘5個數為差1的等 差數列，依次為11、10、9、8、7，和為45，還餘3，因此最小數最少為3。

(2)逆向極值問題：

①求最大量的最小值：讓各個分量儘可能的「均等」，且保持大的量仍大、小的量仍小。

例：現有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得幾朵鮮花?

A.4B.5C.6D.7

解析：要使分得鮮花最多的人分得的鮮花數量最少，則要使每個人分得的鮮花數儘可能的接近。按照平均值依次分配2、3、4、5、6，正好分了20朵，還剩1朵，只能分給最多的人，因此最多的人最少分得7朵鮮花。

例2.某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同部門。假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名?

A.10B.11C.12D.13

解析：答案為 B。要使分得畢業生人數最多的行政部門人數最少，則其餘部門人數儘可能多，即各部門人數盡量接近(可以相等)。從人數最少的選項開始驗證，當行政部門有10人時，其餘各部門共有65-10=55人，平均每部門人數超過9人，即至少有1個部門人數超過9人，與行政部門人數最多的題干條件不符。若行政部門有11人，其餘部門總人數為54人，每個部門可以是9人，滿足題意。

②求最小量的最大值：讓各個分量儘可能的「均等」，且保持大的量仍大、小的量仍小。

例：現有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數各不相同，則分得鮮花最少的人最多分得幾朵鮮花?

A.2B.3C.4D.5

解析：要使分得鮮花最少的人分得的鮮花數量最多，則要使每個人分得的鮮花數儘可能的接近。按照平均值依次分配2、3、4、5、6，正好分了20朵，還剩1朵，只能分給最多的人，因此最少的人最多分得2朵鮮花。

③求分配份數的最大值：讓各個分量儘可能的「均等」，且保持小的量儘可能小。

例1.電視台要播放一部30集電視連續劇，如果要求每天安排播出的集數互不相等，該電視劇最多可以播多少天?

A.4B.5C.6D.7

解析：欲使播放的集數最多，則每天播放的集數必須儘可能小且接近。可以假設每天播放的集數分別為1、2、3、4、5、6，和為21，則接下來就只能為9，或者為1、2、3、4、5、7、8。無論哪種情況，最多可以播的天數都為7天。

④求分配份數的最小值：讓各個量儘可能的均等，且保持小的量儘可能大。

例：電視台要播放一部30集電視連續劇，如果要求每天安排播出的集數互不相等，一天最多播放10集，則該電視劇最少可以播多少天?

A.4B.5C.6D.7

解析：欲使播放的天數最少，則每天播放的集數必須儘可能大且接近。可以假設每天播放的集數分別為10、9、8，播了27集，剩下的3集一天播完，最少播4天。

(3)混合極值問題：同時需要考慮同向極值與逆向極值的問題

①求第N大的數的最大值(N即不是最大，也不是最小，如第二大的數的最大值)：讓其他值盡量小。

例1：有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數各不相同，且分得鮮花數最多的人不超過7朵，則分得鮮花第二多的人最多分得幾朵鮮花?

A.5B.6C.7D.8

解析：要使分得鮮花第二多的人分得的鮮花數量最多，則要使其他人分得的鮮花數量儘可能的少，比他少的依次為1、2、3，分了6朵花，剩餘15朵花分給第二多和最多的人，兩人分別為7朵和8朵，因此第二多的人最多分得7朵鮮花。

例2.100人參加七項活動，已知每個人只參加一項活動，而且每項活動參加的人數都不一樣。那麼，參加人數第四多的活動最多有幾人參加?

A.22B.21C.24D.23

解析：要求第四多的活動參加人數最多，則其他活動參加人數儘可能少，則前三項活動參加人數為1、2、3，還有94人，分給后四項活動，人數儘可能的接近，94 ÷4=23…2，則后四項活動人數依次為22、23、24、25。因此參加活動第四多的活動最多有22人。

②求第N大的數的最小值(N即不是最大，也不是最小，如第二大的數的最大值)

例1.有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數各不相同，且分得鮮花數最多的人不超過7朵，則分得鮮花第二多的人最少分得幾朵鮮花?

A.3B.4C.5D.6

解析：要使分得鮮花第二多的人分得的鮮花數量最少，則要使其他人分得的鮮花數量儘可能的多，最多的人分7朵，還餘下14朵。14朵花分給4個人使最多的人最少，使4個人的數量儘可能的接近，依次為2、3、4、5，正好14朵，因此第二多的人最少分得5朵鮮花。

例2.一次數學考試滿分為100分，某班前六名同學的平均分為95分，排名第六的同學得86分，假如每個人得分是互不相同的整數，那麼排名第三的同學最少得多少分?

A.94B.97C.95D.96

解析：答案為C。為使排名第三的同學得分最少，就應使其他同學得分儘可能多。即令前兩名同學分別得100分和99分，則剩下的三名同學的總分為95×6-100-99-86=285分;285÷3=95分，第三名的同學和第四、第五的同學的分差儘可能小，則分別為96、95和94分。

例3.某機關20人參加百分制的普法考試，及格線為60分，20人的平均成績為88分，及格率為95%。所有人得分均為整數，且彼此得分不同。問成績排名第十的人最低考了多少分?

A.88B.89C.90D.91

解析：答案B。20人的總分是20×88=1760，不及格的人數為20×(1-95%)=1人，則他的分數最高為59分;前9名的總分最多是100+99+…+92=864分，所以剩下10人的分數之和最少是1760-59-864=837分。當第10名分數是88分時，剩餘10人總分最多是88+87+…+79=835分，不能滿足題意;當第10名分數是89分時，剩餘10人總分最多是89+88+…+80=845分，符合題意。因此，排名第十的人最低考了89分，選B。

③求最大量的最大值，(未限定其它量，但給出了最大量與其它量的不等式關係)，最大量最大時其它量都同樣小。

例1.5個箱子總重50公斤，且重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在後三位的箱子總重的1.5倍，問最重的箱子重量最多是多少斤?

A.21B.22C.23D.24

解析：要使最重的箱子重量儘可能大，則其餘箱子重量儘可能小，最極端情況為其餘九個箱子都相等。因此設排在後九位的箱子的重量均為x公斤，可知排在第一位的箱子的重量為1.5x×3-2x=2.5x。可列方程：9x+2.5x=100，解之得x=200/23，則最重的箱子的重量為2.5×(200/23)=500/23公斤。

一般情況下，單純考同向極值問題的題目較少，逆向極值和混合極值較多。在做題的時候要注意題干中的限定條件，是否有「這些數各不相同」的條件以及是否對某些量進行了限定，這是非常關鍵的。希望能夠給廣大考生一些幫助!

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