寫給這些年一直被誤解的數學

郭慧清，深圳中學正高（教授級）數學教師，深圳大學碩士生導師，教育學會中學數學教學專業委員會理事。重視數學課程教材與信息技術整合的研究與實踐，取得了對數學認識有著獨到之處的「元的思想」等一批研究成果。

與「你」相遇

我用女孩最美的年華陪伴你，

我用男孩最初的夢想擁抱你。

今生讓我遇見你，

只因我在找尋你。

我有幾句話送給同學們，這是以你們的口氣表達的。我先問：你認為上述的「你」表示誰呢？

也許同學們會說：「老師，就是你啊！」

謝謝同學們！這是老師最大的幸福。

但是，我今天想說的，是那個「你」表示數學。

由此看來，「你」是一個變數，這是從數學的角度看世界的一個重要觀點。

今天，我演講的標題是「與你相遇」，副標題是「怎樣學好數學？」。我想，送給同學們的四句話，已經表達了我對怎樣學好數學的基本觀點。

為了學好數學，我們要先認識數學。

先看兩幅圖。

在圖1中，「個」中的「I」表示垂直合攏放在胸前的兩隻手，如果堅持這種狀態不願改變，表示這個人不願與別人聯繫，長期如此，「I」會將這個人撕裂，「個」就變成了「小」，這「個人」也就成了「小人」。

在圖2中，由「個」到「大」，兩隻手水平打開了，這種狀態表示這個人願意與人聯繫，經常這樣，這「個人」就成了「大人」。

這兩幅圖告訴我們：當你把自己的命運與全人類的命運緊緊地聯繫在一起時，你一定會成為一個偉大的人。

你的這種偉大表現在：嚮往自然與文明，不僅為自己也為他人創造文明、幸福與快樂。

數學是什麼？

我們先看一些具體問題。

問題1（請看圖3）：

實際情況是，不是每一個擁有50元錢的人，都會像上表一樣花光所有的錢。

由圖4、圖5、圖6，我們就已經知道了這是怎麼一回事。這就是數學。

問題2：

如果你邀請朋友在深圳的某餐館聚會，你會怎樣告訴他（她）聚會地點？

如果聚會地點在「筍崗路南，寶安路東的澳葡街」，你會怎樣說？

如果你按圖7告訴朋友，朋友仍然要找很長時間才能找到聚會地點。

若按圖8的方式告訴朋友聚會地點的坐標（單位是m），朋友很快就能到達聚會地點。這也是數學。

數學關注的是運動變化中的不變性；

數學追求最具普遍意義的規律；

數學追求真理；

數學是聯繫人的內心世界與客觀世界的橋樑。

由此看來，學習數學就像做人一樣，聯繫是學好數學的基本途徑。

怎樣學好數學？

如果數學通常的學習過程是：

聽老師講課；

做練習；

考前複習；

考試。

那麼在這樣的學習過程中：

有些人連教科書都沒有完整地看一遍；

作業做完后連自己也不願再看；

考前複習時覺得許多東西好像沒有學過；

考試完了，數學就完了。

你該怎樣學習數學？

1．培養良好的學習品質

對未知世界充滿志趣、好奇心，並能持之以恆。

2．選擇正確的學習態度

一個真實美好的學習過程，是經歷人類文明洗禮，欣賞並遵守規則的過程。

正確的數學學習態度，最重要的一個特徵是做好作業。

嚴格按照數學表達規範做作業；

做好問題比多做問題重要；

做作業不僅僅是做教材、教輔上的習題，更重要的是以學習的內容為例子去體會如何學習；

你的作業就是你的作品，就是你在別人面前的「臉面」與表現。

3．清楚數學層次

我們吃的大米來自圖9中的稻穗。從結構上看，這稻穗有「根」、「莖葉」、「穀殼」、「米」，這很像數學中的概念、原理、方法、思想：

數學概念是數學的「細胞」，是數學思維的出發點與落腳點，更是數學思維路徑的呈現形式；

數學原理是指建立在數學概念上的結論、規律，如公理、定理、公式，等等；

數學方法是指運用數學概念與原理去解決具體問題的策略與步驟，如因式分解法、配方法、選定係數法、數學歸納法、比較法、同一法、分析法、綜合法、反證法，等等；

數學思想是指在整個數學領域具有指導意義的數學精神與靈魂。如數學模型的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、等價轉換的思想、歸納與類比的思想、元的思想、演算法思想、用樣本估計總體的統計思想，等等。

我們平常吃的是米而不是稻草（稻穗的莖葉）。即使這樣，我們也是從米中汲取營養后，把剩餘物要排泄掉。

同樣，我們學習數學，也要學會從數學中汲取營養，這種營養我們把它稱為數學素養。

高中階段的數學核心素養是指數學抽象，邏輯推理，數學建模，運算能力，直觀想像，數據分析。

圖10反映了數學的層次，也讓我們清楚了學習數學的主要目的是汲取數學核心素養。

問題3：三角形

概念：三角形；

原理：內角和定理，正弦定理，餘弦定理；

方法：解三角形，利用解三角形進行測量；

思想：元的思想，並由此認識三角形為何是三元對象，理解三角形全等的判定定理；

素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想像。

4．明確數學學習目標

概念清；

原理透；

方法熟；

思想通；

能力強。

高中數學中，常見的數學能力有抽象概括能力、運算求解能力、作圖能力、推理論證能力、空間想像能力、數據收集與整理能力、數學技術工具使用能力、數學地提出、分析和解決問題的能力，數學表達和交流的能力，獨立獲取數學知識的能力，等等。

5．理解數學研究過程

（1）從大量相關現象中抽象出研究對象，給研究對象下定義；

（2）將研究對象表示出來；

（3）置新對象於已有的結構中；

（4）研究新對象與原有對象的關係，得出新的結論；

（5）運用新結論為人類服務。

問題4：城市街道路線問題

如圖，棋盤式街道中，大量人流從A地出發隨機選擇路線到達B地。若限制行進的方向只能向右或向上，那麼人流中經過E地的人與選擇不經過E地的人哪個多？

（1）定義：大量的合乎條件的行走路線我們定義其為路徑；

（2）表示：把橫向街道從左至右依次表示為a，b，c，縱向街道從下到上依次表示為1，2，3，這樣，任何一條路徑就是a，b，c，1，2，3的一個排列；

（3）聯繫：當我們寫出若干個排列后，我們就能發現這些排列的特點：a，b，c的順序一定，1，2，3的順序也一定，符合要求的排列與某類組合對應；

（4）結論：經過E點的人要多於不經過E點的人；

（5）應用：如果要減輕E點的交通壓力，可以在最靠近A點的兩個街口安置信號燈，通過調整不同方向的通行時間來減少通過E點的人流。

6．把書讀薄

高中數學學習讓你形成的數學思維，概括起來就是「模特元定界」。

元的思想：

任何事物都有確定它的基本要素，任何事物的變化及事物與事物之間的聯繫也均由事物的基本要素引起並確定，我們把確定事物的基本要素稱為事物的「元」。從元的角度觀察、分析和認識事物，探求事物各部分之間的聯繫，發現事物的變化規律，並最終利用規律去解決問題的基本思想稱為元的思想。

7．掌握學習技術

人類文明的進步已深深地影響並改變著人們的生活。

學習技術的誕生，同樣改變了人們的思維與學習方式。如今，如果你擁有一台圖形計算器，你再也不用花幾天時間去完成一個繁雜的計算，甚至於在瞬間就能得到你想要的複雜圖象、回歸方程、定積分的值、微分方程的解……

同學們在學習時發生困難，大多是因為數學思維的嚴謹性、概念的抽象性與計算的複雜性，而解決困難的有效方法就是尋求技術的支持，在抽象的概念與直觀的情景之間建立「多元聯繫」。

問題5：如圖所示，某一平原上的四個村莊恰好坐落在邊長為10km的正方形ABCD四個頂點上。現要建一個道路網，使任意兩個村莊之間都有通道。請你設計一個道路網，並使它們的總長度不超過28km。

8．追求簡單與普遍性

問題6：

下列矩形中，所標的兩個數字是它們各自所在三角形的面積，問矩形的面積是多少？

基本思考：

利用三角形面積公式求解；

利用相似三角形求解；

利用方程的思想求解；

利用坐標法思想求解；

在技術平台上求解。

數學所記錄的是人類活動的痕迹，它有溫度、情感與生命：

只要你運用數學的知識、方法與思想，無論你做什麼事情，都會表現出專業的品質；

只要你擁有良好的數學素養，無論你的言語、思想，還是行為，都會表現出對規則的尊重和良好的教養。

學習數學的真正目的不是為了考試。

學習數學讓同學們增長學識，豐富學養，並因此擁有良好的教養。

最後，一首詩送給大家：

《與你相遇》

如果不是因為你

我不會如此喜愛

今早的紅霞

和今晚的月亮

那霞的紅

是雲的心情

那月的亮

是天的夢想

與你相遇

卻是我今生的盼望

1.有些學生學不好數學，很大的原因是對數學沒興趣，甚至厭惡。你教書30多年了，一定遇到過很多這樣的學生，你是怎麼處理這種情況的？

遇到這樣的學生，首要任務是要讓他們對數學發生興趣，這就要求老師要把數學理解得比學生深，把數學內在的好東西表現出來。

以分數來調節是一種措施：通過改變考題的內容和難易，讓學生取得一個比以前高的分數。這樣的手段可以用來調節，但不是最重要的。最重要的，是要讓數學本身來吸引學生。

這需要老師在研究數學問題的時候，不斷去了解、思考數學的過去、現在和未來，了解和數學有關的人和事，把一些數學家的事迹講給學生聽，比如陶哲軒，用他的例子來激勵他們、吸引他們，是會產生很好的影響的。

2.對待數學學困生或者偏科生，你有什麼好的方法和經驗？

可能是教學的時間比較長，我遇到的學困生的情況比較多，有時候就像小說里寫的一樣，一群人都集中到一個地方去了。現在我先把所有我遇到的一些偏科生情況歸納一下。

按照我的理解，數學成績比較差的學生，會有這樣一些基本特徵：

1、對數學不關心，完全參與不進來，上課打瞌睡，提不起興趣；

2、作業表達不清楚，語言混亂、馬虎，不符合數學規範；

3、課堂交流、回答問題時，知道答案是什麼，但是說不清楚。

對於第一種學生，老師要把數學的味道講出來，把他們吸引進來，這個方面不是學生的問題，而是老師的問題。

進入到課堂上來了，接下來怎麼做呢？我常跟學生說要做到「三清」：想清楚、說清楚、寫清楚。任何一個概念，或者說數學的思想、原理和方法，要學好這些，一是要想清楚，弄清楚那些數學符號的意義到底是什麼，並分清楚它們的層次。

二是要說清楚，將自己的想法說給別人聽，如果別人聽不懂，你就會反觀自己，意識到自己在哪裡出了問題，這個說的過程其實是加深自己對數學的理解及熟練數學符號語言運用的一個過程。數學是抽象的學科，它最終目的不是為了讓抽象變成具體，而是為了讓學生從不能抽象思維，變成可以抽象思維的過程。很多學生數學學不好，就是因為缺少這種鍛煉。

第三是要寫清楚，寫數學作業，就要將具體事情反映到符號語言的體系中，按照數學學科本身的語言規範來做。如果一個人能夠將自己的所思通暢地說出來，還能在紙上表達清楚，那說明你用的語言符號系統是非常規範的。如果不是，就會產生一些問題。

我現在強調學生多看教材，而不是看教輔，因為有些教輔是在利益的驅動下做出來的，語言很不規範。學生作業寫不好，要看看教科書里對一個問題是怎麼表達的。我現在改作業，在他們本子上畫很多圈，不規範的就讓他們重新去改。數學能力好不好，考試成績是一個方面，作業規不規範也是一個重要體現。

3.你認為一個好的數學老師應該達到什麼樣的要求？

一個數學教師要達到一定的水準，他是不是一名好老師，可以通過四個標準來衡量：第一，是不是很理解數學，或者說數學素養怎樣；第二，是不是理解教學；第三，是不是理解學生；第四，是不是理解技術。

我的課，我是希望在一種非常流暢的狀態下表達我對數學的理解，給同學們傳遞一些有用的信息。我理解技術，是在前面三個大家都公認的觀點上加的，技術是幫助人類達成一些目標的重要途徑，具體到數學方面，技術本身就是數學的一個內容，並且成為了數學的一個組成部分，很多數學問題本身就是在技術平台上做出來的。比如張景中教授，他做的許多研究都是跟計算機高度結合在一起的。

21世紀數學研究的很多內容，都是緊密圍繞演算法問題和計算機運用進行的，這需要我們主動去接受一些前沿性的東西，一個數學老師如果不跟技術打交道，就會和數學本身產生一種隔閡，甚至發展到根本無法理解的程度。

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