天壤之別在拓撲

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數學的一項重要目標，就是得到一些對象在同構意義下的分類，一個重要的手段就是尋找同構不變數。

撰文

去年的諾貝爾物理學獎和化學獎都提到了拓撲學的絕妙應用，其後我不止一次被要求給數學圈外好奇的朋友普及一點拓撲學。可惜我一直沒有找到合適的切入點，直到最近聯想到從前在高數課堂上鬧出的一個笑話，才打開了局面。下面讓我先回顧一下這個笑話。

2014年10月9日，是我走上講台（講授微積分）整整一個月的日子。課後我在網路日誌里發表了感言：

今天的內容是函數的凹凸性。當我提筆時，發現自己對凹、凸這兩個字的筆順完全拿捏不準……慚愧，連國小生都會的，我一個大學老師卻手足無措。雖然敷衍過去了，但我沒有做出一個好榜樣……

記得我當時很囧，還在課堂上戲謔說，我懷疑很多出國留學的同學之所以不願意回國找工作，就是因為害怕寫「凹凸」這兩個字。在朋友們的零星留言中，我看到了一位專攻代數幾何的海歸同學的評論：「我可以用兩筆寫完凹凸這兩個字......」

當時我還陷在「凹凸」給我帶來的挫敗中，不覺得他的話有什麼道理，今天才突然意識到，他是對的！從數學家（尤其是拓撲學家、圖論專家）的眼光來看，凹、凸這兩個字都是屬於可以「一筆畫」的。於是我們有了一個一般的問題：從拓撲學的眼光看，任意給定一個漢字，至少需要畫幾筆？為方便起見，我們稱之為漢字的「拓撲筆畫數」。

在介紹一般的結果之前，我們先來看幾個例子。

凹、凸當然都是可以「一筆畫」的，口也是，更簡單的例子是一、乙、己、巳、幾、弓、了、廠，稍微不那麼明顯的是中、串、日和曰。而二和已都需要兩筆，也就是說，它們的「拓撲筆畫數」都是2。目和田的「拓撲筆畫數」也都是2。由此可以看出，一般說來，一個漢字的「拓撲筆畫數」要比我們平常書寫時的筆畫數少。當然，也有完全一致的情況，比如在班級內公開選舉投票時常用的正字，它的筆畫數是5，「拓撲筆畫數」還是5。

不限於漢字，我們也可以對字母和數字考察其「拓撲筆畫數」。例如，你可以數一數字母B的「拓撲筆畫數」（多少？），它跟數字8及其傾倒∞的「拓撲筆畫數」是一樣的！

更一般地，我們可以對一個網路（比如一個城市的公交路線網路），數出其「拓撲筆畫數」（這對應著安排最少的公交路線以覆蓋整個網路）。從數學的眼光來看，這是極有趣的問題。即便是回到漢字問題本身，也許崇尚簡約的書法家也樂於知道一個漢字的「拓撲筆畫數」是多少。

2007年成都市公交網路示意圖

從數學的觀點看，一個漢字可以視為一個圖（graph）。一個圖就是由若干個（通常是有限多個）頂點組成的集合，並且在這些頂點之間指定了一些相連關係（用連線示意）。因此，圖只不過是帶有結構（即表示了相連關係的邊）的點集。

為了將一個漢字視為圖，我們只需要將各個筆畫的端點、拐點以及任意兩個筆畫的交叉點標記為頂點即可。在這個意義下，幾乎每個漢字都是一個圖，只有〇 除外。

圖這一數學術語是由英國數學家西爾維斯特（J. J. Sylvester）在1878年首次引入的。他當時考慮的是，將圖的觀念應用到化學中以描述分子的結構。比如，我們都知道，甲烷分子

的圖是一個正四面體，四個氫原子H位於正四面體的四個頂點，而碳原子C在中心，通過化學鍵與各個氫原子相連。

計算機科學中涉及的網路，乃至於普通的人際關係網路，也可以視為一種圖。比如，也許你聽說過所謂的「六度分割理論」，這其實就屬於圖論。可以想見，圖論有諸多應用。

對圖的研究形成了一門學問，即圖論。而圖論的研究，就是從確定一個圖的「拓撲筆畫數」問題開始的，那是瑞士大數學家歐拉1736年的工作。因此，歐拉（Euler）被公認為是圖論的創始人，1736年可以稱為「圖論元年」。

歐拉所解決的圖論問題，後來以「哥尼斯堡七橋問題」而著稱於世。經過抽象以後，問題就是：下述網路可否「一筆畫」；如果不能「一筆畫」，其「拓撲筆畫數」又是多少？（讀者不妨先試一試。）

哥尼斯堡七座橋的圖

在報告歐拉的美妙結果之前，我想著重解釋一下，這個問題中的「拓撲」出現在哪裡？其實拓撲一開頭在我朋友的評論中就出現了。當他說「我可以用兩筆寫完凹、凸這兩個字」時，實際上還隱含了一層意思，即凹與凸是「同構」（結構相同）的。

我們說兩個漢字（更一般的，兩個圖）同構，是指在它們的頂點集之間存在一一對應，使得第一個漢字的各個頂點之間的相連關係在該對應下保持不變。

對應在化學上，兩個組成成分（頂點）相同的化合物，如果不同構（相連關係無法匹配），就互稱為對方的同分異構體（isomers）。

在凹與凸的情況，它們同構是顯而易見的。

從拓撲學的觀點來看，我們在考察漢字時，對同構的字可以視為等同。所以，在拓撲學家看來，凹、凸是一樣的。現在請你考慮以下三個問題：左與右是否同構，日與月是否同構，天與地是否同構？

直覺會告訴你，這三個問題的回答都是否定的。如果你想極肯定地回答這些問題，需要一些基本的觀察。

第一個觀察是，兩個漢字如果同構，其頂點數一定相同。這是因為，同構要求在兩個漢字的頂點集之間形成一一對應。現在你數一數這些字的頂點數，會發現，左是11個頂點，右是9個頂點，自然不同構。類似地，日與月、天與地，都不同構。

而天與地的不同構，甚至是一眼就可以看出的：因為地是左右結構，也就是說，它分成了獨立的兩塊（土和也）。

從數學上講，一個漢字的「塊數」，稱為其連通分支數。所謂「塊」，就是連在一起的部分（連通分支）。比如，口的連通分支數當然是1，而呂、品的連通分支數分別為2, 3。而天與地的連通分支數分別為1和2。從圖論或拓撲學的眼光看，天與地（或壤）的連通分支數不同，才是真正的「天壤之別」。「天壤之別在拓撲」，道理就在這裡。同樣的，俗語說的「丁是丁，卯是卯」也可以從拓撲的角度來理解，丁與卯的差別，首先就體現在它們的連通分支數不同。

容易看出，同構的漢字具有相同的連通分支數。用行話說，連通分支數是同構不變數。由此，我們可以再一次（更簡單地）判斷出，天與地不同構。

這個例子告訴我們，在判定兩個漢字是否同構時，抓住一些同構不變數，比如上面提到的連通分支數，是有好處的。數學的一項重要目標，就是得到一些對象在同構意義下的分類，一個重要的手段就是尋找同構不變數。去年諾貝爾物理學獎中提到的陳數（Chern number，不是同名女影星哦），就是著名數學家陳省身發現的一種極重要的拓撲不變數。

如果一個漢字的連通分支數為1，我們就稱該漢字是連通的。很明顯，可以一筆畫的漢字一定是連通的。反過來並不對：一個連通的漢字（網路）未必是可一筆畫的，例如天、月、已、目、田、甲、申、木。也就是說，連通分支數並不是完全的同構不變數。這意味著，還存在稍微複雜一點的同構不變數。不難發現，我們前面提到的「拓撲筆畫數」也是同構不變數：同構的漢字（或圖）一定具有相同的「拓撲筆畫數」。當然，它不如連通分支數好用，因為數一個漢字的「塊數」，往往是一望即知的。

從拓撲學（也許還有書法家）的眼光來看，最簡單的漢字就是一筆畫的。我們這裡不打算考慮將所有的漢字按照同構的關係來分類（這個問題好像有點無聊了），而只考慮將所有可以一筆畫的漢字做同構分類。

原則上，可以一筆畫的漢字（為了避開麻煩，我們把〇暫時排除）並不多，除了最常見的一、口、凹、凸、乙、己、巳、幾、中、日、曰、串、弓、了、廠，還有一個字，值得給學數學的人介紹一下，即冖，這個字念「冪」，是冪的古體字。這裡讓我岔開話題，稍微解釋一下這個字。我是從數學史家梁宗巨先生的文章《冪與指數概念的發展及符號的使用》中學來：

「冪」字作名詞用，是用來覆蓋食物的巾；作動詞用，是用巾來覆蓋。《說文解字》解釋作：「 冖， 覆也，從一下垂也。」又《玉篇》：「冖，以巾覆物。」

用一塊方形的布覆蓋東西，四角垂下來, 就成冖的形狀。將這意義加以引申，凡是方形的東西也可以叫做冪。再進一步推廣，矩形面積或兩數的積（特別是一數自乘的結果）也叫做冪。從現存的文獻看, 這種推廣是從劉徽開始的……

梁先生在文中補充了不少例子以說明冪的術語在數學中的應用，我只補充兩點：

第1，國中數學的圓冪定理（power of a point theorem），之所以出現冪，是因為裡頭有個乘積。

第2，你現在應該可以猜出，為什麼楊冪叫楊冪，因為她爹媽都姓楊，她的俗名應是楊平方！（可以想見，給她取名字的人是很有數學修養的！）百度詞條說：「因為一家三口都姓楊，也就是「楊」的3次方，所以給她起名楊冪。」我覺得撰寫詞條者可能沒有理解到位：楊父×楊母=楊平方=楊冪，楊冪是楊父與楊母的作品（product，作為數學術語又表示乘積），所以把她的名字理解為「楊平方」比「楊立方」更可取（因此我們建議，她的簽名不妨用「楊

最後稍帶一句，冪的英文是power，因此我們常常將一個冪函數寫成x的p次方。

好了，現在回到可以一筆畫的常用漢字的分類。我們留給有興趣的讀者作為練習：請將以下16個漢字按照同構關係分類：凹、凸、一、口、乙、己、巳、幾、中、日、曰、串、弓、了、廠、冖。

也許是時候播報歐拉關於「拓撲筆畫數」的基本結果了。這裡我們只給出結論，詳細的證明請見姜伯駒院士的小書《一筆畫和郵遞員線路問題》前28頁。

對給定的網路，標出其頂點，對每個頂點，數出和它連接的邊的數目，依據這個邊數是奇數還是偶數，而分別稱該頂點為奇頂點和偶頂點。最後統計出整個網路的奇頂點數目M。結論如下：

定理1：一個網路可以一筆畫當且僅當它是連通的，並且M=0或2 。當M=0時，從任意一個頂點開始都可以完成一筆畫；當M=2時，一筆畫必定始於某個奇頂點而終於另一個奇頂點。

定理2：對於任意一個連通網路，其M一定是偶數；並且當M>2時，其「拓撲筆畫數」為M/2。

我只補充兩點說明：

第1，M顯然是同構不變數。所以推論是，「拓撲筆畫數」也是同構不變數。

第2，根據定理1不難證明歐拉的「哥尼斯堡七橋」不可一次走過；根據定理2可知，「哥尼斯堡七橋」的「拓撲筆畫數」為2。

事實上，我們通常寫漢字時，並不會按照數學上最簡單的方式盡量搞一筆畫，這是因為，我們有習慣（規矩）：寫字時遵循從左到右、從上到下的方位次序。這就意味著，我們杜絕了將形如口這樣的結構一筆畫。這就好比說，我們約定了，左上角地勢比較高，右下角地勢比較低，於是水流不可能形成迴路。

在數學上，這相當於說，我們寫字時得到的圖，是有向圖（directed graph）。根據歐拉1736年的另一個基本結果可知，書寫漢字的下述約定（規矩）——一個連通的漢字，其起點和終點不能重合——可以保證，作為有向圖的漢字，不存在迴路。對於一個一般的有向圖，著名的BEST定理（由四位數學家de Bruijn，van Aardenne-Ehrenfest，Smith，Tutte發現），可以計算出其中的迴路（稱為歐拉迴路）個數。然而，對於一般的無向圖，尚無相應的計算公式。

到目前為止，我們所講述的，只是最簡單的拓撲，所考慮的對象是一維的。去年諾貝爾獎工作所涉及的是高維圖形的拓撲性質。希望以後有機會我們再進一步討論高維圖形的拓撲。

最後，作為預告，我們留一個二維圖形的問題給讀者（它事實上可以用拓撲來回答）。

思考題：

在通常的⚽️表示中，我們可以看到有兩種圖案：一種是黑色的五邊形，另一種是白色的六邊形。問：五邊形、六邊形各自有多少個？更進一步，如果我們限制用五邊形和六邊形兩種圖案來分割球面（並假定每個頂點恰好有三條邊和它相連）；能否得到其它的不同於⚽️的構型？

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拓展閱讀：

【1】姜伯駒院士的小書《一筆畫和郵遞員線路問題》的後半部分討論了數學家管梅谷提出的「郵遞員線路問題」，想必有許多快遞員可以從中獲益，因為它講的是怎麼安排行走路線可使要走的總路長為最短。

【2】關於圖論在化學中的應用，可以追溯到英國數學家凱萊，他在1874年發表了論文《論同分異構體的數學理論》（ On the mathematical theory of isomers）。對數學在化學中的應用，可見Joseph Malkevitch的綜述文章 Mathematics and Chemistry: Partners in Understanding Our World，http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-09

有中譯文《數學與化學： 解讀世界的一對搭檔》，歐陽順湘譯，《數學文化》2016年第1期。

【3】更一般的，關於拓撲在諾貝爾化學獎得獎工作中的一個應用，可見姜伯駒院士的文章《拓撲學中的手性——拓撲學與化學結緣》，收入姜伯駒 、錢敏平、龔光魯著《數學走進現代化學與生物》，科學出版社，2007年。

【4】關於圖論研究的前沿，可以參見金芳蓉教授的文章Graph Theory in the information age , Notices of AMS, 57, no. 6, July 2010, 726—732，http://www.ams.org/notices/201006/rtx100600726p.pdf. 有中譯文《信息時代的圖論》，http://www.math.ucsd.edu/~fan/wp/graphc.pdf 。

致謝

感謝香港城市大學陳關榮教授和重慶大學邵紅亮教授對初稿提出了許多有價值的批評和建議。

編輯：Alex Yuan