關於顏色的學問札記

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本文經作者授權轉載，原發表於儀器信息網(www.instrument.com.cn)

引言

在人類對大自然的感知中，最複雜但又最美妙的恐怕莫過於顏色，如圖1所示一幅水上藍天白雲虹霓，儘管極少人能看得懂其中深層次的美的學問道理，但男女老少大都能一眼被其奇幻的顏色組合迷倒。簡看人類對於顏色的認識與應用歷史，據作者追朔最早於義大利文藝復興時期同時懂得建築、文學、哲學與密碼學的通才Leon Battista Alberti於1435年提出顏色混合的兩維色輪與三維色球理論(colour wheel/colour sphere)[1]；兩個世紀以後通曉多學科的偉大天才牛頓於1671年公布用稜鏡將白光分解成各顏色光的奧秘，猜想光與聲音一樣來源於振動，比如七色對應七音[2]；經過一百多年，又一位曠世通才托馬斯∙楊(Thomas Young)在1802年的一篇論文中指出人眼對顏色感知的基本自由度僅有3種[3]；當然，人類對顏色表示和應用的定量理論產生於1860年後，得益於亥姆赫茲(Helmholtz)與麥克斯韋(Maxwell)兩位科學巨匠確切的將紅綠藍定為光源與探測器的三基色，併發明了色品圖(chromaticity chart)成功連通了人類感知和自然物理兩個顏色世界；20世紀初，量子力學鼻祖普朗克(Max Planck)對黑體輻射能量跟溫度及光譜顏色關係根源的理論研究結果揭示出顏色與能量本質上的不連續性，引領並推動人類如今將顏色的理解和應用水平達到了前所未有的高度。

顏色的學問散落在人類認知的方方面面，從宗教的黑白無常、色即是空到藝術的音色畫色調諧，從顏色心理學到定量色度色譜科學，從基本粒子夸克之間強相互作用量子色動力學到用星光發射光譜和紅移研究的宇宙學，從真實自然的五彩到計算機虛擬世界的斑斕，一定有永遠也說不完的話題，寫幾十本書都不過分。即便作為儀器工程師，作者如就顏色測量這一小點具體討論開也包括光譜儀、色譜儀、光度計、色度計、照度計等儀器設備，也夠開好幾門課[4]。但這些都不是本文寫作的動機，因為如果僅僅將已有知識顛來倒去的翻騰，難以刷新自己或讀者的認知，浪費自己精力不說，還白白耽誤讀者寶貴的閱讀時間，很不值得，因而並非作者樂意而為之事。相反，如果文章讓不同認知程度的讀者在三、五分鐘的閱讀時間裡都能或多或少的發生一點對極其基本概念認知上的刷新，哪怕作者投入更大的精力讓文章圖文更加精鍊好懂，總體而言值得去做。因而本文只聚焦在作者思索多年且未曾通過已有的知識渠道獲得圓滿答案的三個問題點：

一、顏色波長單調變化與閉合成輪的矛盾？

二、三原色與三基色背後的物理聯繫？

三、不同的顏色測量和表示系統之間如何轉換？

本文採取札記的形式，目的是不限通常八股文章框架約束，而能靈活方便的表達作者本人對於基本概念的思考、問題的理解乃至困惑，摘掉說教的面具，和讀者平起平坐，一起探討問題本身的奧秘。自然，札記的形式一定存在不成熟和不完善的另一面，好在網路時代的文章發表容易，接受評審意見對錯誤進行修改也容易，為了避免後面的讀者不慎掉進錯誤的陷阱，請讀者看到錯誤之處時不吝反饋賜教。

圖1 水上藍天白雲虹霓顯示大自然的顏色之美(圖片源自https://physics.stackexchange.com)

一、顏色波長單調變化與閉合成輪的矛盾

當你跟一個畫家聊顏色的時候，畫家所展示的顏色世界通常是擁有高度對稱性與美感的，如圖2a所示的色輪；而一個科學家談論顏色時必定會提到如圖2b所示鋪展開的可見光譜，可惜對稱和美消失殆盡；還有一個介於二者之間的群體，從事顏色相關的設計、製作與測量技術工作的工程師，他們一方面要保證科學定量，另一方面也兼顧人類對美感的需求，因而其顏色世界在美感和精確性上均在科學家與藝術家之間，如圖2c所示的的馬蹄形色品圖，其中二維色品坐標對應紅、綠二色的相對刺激值。這裡自然就會產生一個問題，科學家世界里自然顏色從紅到紫的波長明顯呈單調變化，那為什麼不同顏色混合能閉合成輪？一定是人類對顏色的感知系統有些不易察覺到的巧妙設計，很多人清楚人眼有紅綠藍三種顏色感知細胞，但如何將解決單調色彩之間環向轉動的關鍵，我認為有兩點：

首先，存在缺口是因為自然界從紅光到紫光的波長單調變化與與人體對顏色的感知系統存在各種顏色包括紅光到紫光的連續變換，尤其是將物理中紅光與紫光的兩波段刺激組合理解成單色洋紅顏色區域，該缺口區域內的任何過渡顏色並不存在某個單一物理波長的光與之對應，只是橫跨紅藍兩端至少兩個波長被人的感知系統融合理解成單一顏色而已。

另外，三色感知之間有較大的不對稱性，如圖3所示，儘管極簡響應光譜模型看起來三種視錐細胞看起來無明顯差異，但根據三種視錐細胞原始的靈敏度光譜曲線[5]，除了藍色感知靈敏度相對紅綠感知明顯偏低之外，還可以看到紅色視錐的靈敏度曲線在藍色光譜區域中也存在一個小肩，這說明人眼在結構和性能上用感知細胞的不對稱性彌補前一點提到的缺口，這從如圖3右下角所示國際照明協會CIE定義的標準觀察者光譜圖可以獲得更強烈的印證，即通過與相對單一的YZ刺激譜線明顯對比跨紅藍兩色區的X刺激曲線、適當的相對比值權重調整，達到更完美的模擬人類對顏色的感知結果，也就是說針對單調的自然色彩光譜，人眼相應的用不對稱的感知予以補償，以獲得整體上較高的感知顏色對稱性和美。

圖2 不同人群的顏色世界的差異

圖3 三刺激響應模型

二、三原色與三基色背後的物理聯繫？

記得20多年前剛上國中時，物理課本上講顏色就提到三原色與三基色，已經記不清老師怎麼介紹三原色與三基色及其聯繫與對比的細節了，只是死記硬背三基色紅綠藍，三原色紅黃藍。這裡有幾個基本的問題，一是二維色調空間中(先不考慮亮度自由度)坐標值只有兩個，而基的數目卻為什麼需要3個而不是兩個？這個問題比較簡單，因為與通常平面坐標系不一樣，顏色混合操作沒有負向或相反方向操作，如果兩個基最多智能覆蓋兩個象限，要覆蓋四象限，只能再增加一個基。第二個問題，兩種顏色系統差異是什麼，也是比較清楚的已有知識，如圖4所示，三基色與三原色分別屬於顏色相加與相減空間操作，通俗的說，三基色增空間混色操作比如顯示單元或探測單元中多基色光混疊，那麼混合種類越雜越接近於白色，而減空間中混色操作比如多種顏料混合，混合種類越多，顏料吸收的波段越寬，反射或透射的就越窄，則混合種類越雜越接近黑色，因而將增空間的三基色用於減空間混色操作，或者減空間中的三原色用於增空間混色操作都達不到覆蓋整個顏色空間的效果。最後一個問題，三原色與三基色之間的內在物理聯繫是什麼？在人類已有的知識庫中檢索未見答案的情況下，作者經過幾天的思考和總結獲得一個備選答案如下：

在平直或極坐標顏色空間的色輪中將三原色與三基色分別標記出來，如圖5所示，可以看到三原色與三基色分別佔據一個半輪，兩個半輪之間共享紅綠線，主觀上對應顏色能量的盈虧或四季中的秋春兩季，而第三個顏色分別是黃色與藍色，分別對應主觀上的暖色與冷色或四季中的夏冬兩季，很好理解增空間中的顏色操作需要冷色調作為基，減空間中需要暖色調作為基，否則操作結果就不是覆蓋整個色輪，而是分別走向白與黑的極端。那麼這兩個半輪之間的關係怎樣？根據簡單的對稱性介紹[6]，兩個半輪貌似辛對稱symplectic symmetry，它是數學物理學家外爾Weyl構造的詞[7]，具體說明參見本文第五節名詞索引，它通過旋轉90度操作讓其中一個基反向並與另一個基交換，但從圖5中不難看出辛對稱並不能很好的用來刻畫三原色與三基色兩個半輪的關係，關鍵在於上一節提到的色輪在紅色與紫色之間存在對稱缺口，儘管被人類視覺系統掩蓋，但客觀存在，該缺口的存在不允許兩個半色環之間進行簡單的旋轉對稱操作，那應該是什麼呢？根據研究基本的代數群的幾何表示[8]，尤其是二維色調系統中可能用到的所有的對稱操作，用坐標、矩陣、對稱線等匯總表示如圖6所示，這時不難發現可以滿足冷暖色調進行正負對調的對稱性除了辛是一個可能外，還有一個非常重要但在數學物理研究中很少被提及的一個對稱，如圖中用紅網圈出的交換反演對稱，文獻中找不到一個可拿來稱呼的名稱，作者這裡不妨模仿外爾製造symplectic（「對稱」與「復」詞根組合）和華羅庚先生翻譯成「辛」，構造交換反演對稱操作的英文名稱invexchange，中文「印」，用來描述顏色增空間與顏色減空間之間，滿足色輪上紅-紫顏色存在內在破缺帶來的新的對稱變換同時保持不變的內在聯繫。更普遍的應用可推廣到圓環對稱性因為存在內部裂縫而破缺的條件下的保持增減互補對稱不變的情形。有人認為顏色基的選擇可以任意選擇，比如圖4中在增空間中做增操作形成的淺藍-洋紅-黃CMY三色可以作為減空間中的紅黃藍的替代，實際上印表機顏料中也在使用這樣的混合，與黑色blacK一起構成的CMYK色系是最經濟的一種配色方案，但作者認為在數學物理角度看，CMY不能替代甚至撼動紅黃藍的三原色地位，仍然參考圖5所示的內在破缺位置，不難看出M與CY不大一樣，是人類假想的顏色沒有單一波長光與之對應，因而說三原色與三基色是天然選擇了紅黃藍與紅綠藍，這一對互為印對稱的顏色基，無法被其他組合取代。

圖4 三原色與三基色的加減混合組合比較

圖5 三基色與三原色在色輪中的分佈對稱性圖示

圖6 自然界幾種基本對稱性圖示

三、不同的顏色測量和表示系統之間如何轉換？

物理的世界離不開測量，顏色也一樣有其度量和測定方法，大體上分為相對比較法和直接光譜測量法兩類，相對比較法常見的有美女做臉-粉顏色匹配或pH試紙比色等很好理解不予多說，其中直接光譜測量又分為被動與主動兩種方法，被動法可以用來測量光源的色度參數，人眼是一種典型的被動法測量系統，被動法的不足是難以測量物體的本色，因為光源、照射角度等參數未能預先設定，而主動法則可以通過統一設定光源和照射角度等條件，獲得更加客觀的色度測量結果，儘管物體的顏色仍然受表面粗糙度、吸附物質等因素的影響，但通過可控的表面操縱預處理手段，對物體本色測量的精準度在技術上作者認為可以做到儀器分辨範圍之內，具體的測量原理方法細節讀者可以參考色度學工具書[4]。本文對複雜的顏色表示系統之間的轉換做點簡要的討論，這個學問知識庫中是現成的，但讀者要自己去挖掘歸納恐怕不如這裡總結出來幫助讀者以較短的時間理解其中的學問。

一個是為什麼會有那麼多不同的顏色表示系統？答案很簡單，因為顏色的應用場景很多，且多個場景的表示和應用不明顯共享參變數。如今數碼時代3歲嬰兒都會拍照，殊不知不到1秒的拍照過程涉及到隱藏的顏色相關過程其實相當複雜，參考作者匯總結果如圖7所示，拿一幅作者所在辦公大樓在藍天下一角的照片舉例，該數碼照片的拍攝過程是一個顏色獲取、記錄、處理、顯示過程，在感測器對自然風景成像，第一步是模擬觀察者將原始多頻點探測器響應信號轉換成XYZ三刺激值(此時可以順便獲得色溫信息，避免後期轉換會碰到同溫異色更異譜的麻煩)，XYZ可以通過無損的線性矩陣變換獲得紅綠藍RGB值或一個六位十六進位數表示的顏色，用於存儲、發布或雲共享；此時如果要在屏幕顯示，還涉及到gamma伽馬校正，否則會因為線性RGB色度空間與人眼感知的非線性不匹配帶來顏色失真的問題(屬於網上搜索結果一堆的已有知識，不多講)；隨後，如果要將風景列印或數碼沖印出來，需要將RGB轉換成到前面提及的經濟的CMYK油墨配色坐標體系；還有一種現在可能不太常用的情形是將數碼照片黑白顯示，這時需要使用灰度彩度參數分離的亮度色差Yuv系統；最後值得一提的是工業、藝術等調色繪畫的應用場景中平直色調空間亮度色調實部虛部LAB或圓柱色調空間色調飽和亮度/色調飽和色純HSL/HSV系統則會經常被用到。

另一個是多個坐標系統之間怎樣變換？為供對數理感興趣的讀者提供方便，作者搜集了多個顏色系統之間變換的公式放在圖8所示的大矩陣當中，可見這些轉換中有部分通過矩陣聯繫，但要注意到矩陣並非萬能，在變換空間之間存在非線性扭曲情況下，用於線性變換的矩陣則無法使用。當然，對於變換過程不關心、也許只會偶爾應用一下變換的讀者，推薦使用這個在線轉換工具 。

圖7 多種顏色表示系統的應用關係圖示

圖8 多種顏色表示系統的轉換公式矩陣

四、結語

最後以幾句簡短的文字歸納本文：

顏色豈為空？實為波飛盪；

如若空是色，真空必落漲。

穿行幾多域，神隱百變換；

縱有圓環缺，對稱印有常。

五、相關名詞索引

辛矩陣/辛對稱/辛群 (symplectic matrix, symplectic symmetry, symplectic group)，辛矩陣代數定義是一種行列式(determinant)為1，且滿足乘以任意矢量后再被其轉置矩陣乘后矢量大小和方向均不發生改變。幾何上便於理解的圖像是圍繞中心軸做直角旋轉操作前後互為辛對稱。一組反覆做辛矩陣運算得到不可約操作構成群且矩陣元中包含可微變數，稱該群為辛群。

印矩陣/印對稱 (invexchange matrix, invexchange symmetry, invexchange group)，印矩陣是一種行列式(determinant)為-1，且滿足乘以任意矢量后再被其轉置矩陣乘后矢量大小和方向均不發生改變。幾何上便於理解的圖像是平面內X=-Y直線鏡像對稱操作前後互為印對稱，與先後次序無關的反演與交換連續操作的效果類似。一組反覆做印矩陣運算得到不可約操作構成群且矩陣元中包含可微變數，稱該群為印群。可能其重要性未被數學界充分認識，尚未見正式命名，因而本文姑且為之起一個中英文名稱：「印」 invexchange，用來刻畫顏色增空間與顏色減空間之間的對稱變換，更普遍的應用可推廣到圓環對稱性因為存在內部裂縫而破缺的條件下的保持增減互補對稱不變的情形。

色空間(color space)：定量表示顏色的三維空間。

三原色(three primary colors)：紅黃藍RYB。

三基色(three principal colors)：紅綠藍RGB。

三刺激值(tristimulus)，單位坎德拉每平方米cd/m2。

色調/色相(hue)：色調空間的相位角，0-360度之間取值。

明度(lightness)，顏色的相對明度指數，0-100之間取值。

彩度/飽和度/色濃度(chroma, satuation)，距離等明度無彩點的視知覺特性來表示顏色的濃淡。

色品，色品坐標(chromaticity coordinates)，三刺激值相對於他們總和的比值，無單位，x,y,z取值範圍在0到1之間。

色差(chromatic aberration)ΔE：用色空間的笛卡爾距離作為衡量色知覺差異。

色溫(color temperature)：即把某個黑體加熱到一個溫度，其發射的光的顏色與某個光源所發射的光的顏色相同時，這個黑體加熱的溫度稱之為該光源的顏色溫度，簡稱色溫，單位K。

主觀色能/紅綠度/複數色調實部(subjective color energy, real part of complex color number)：主觀上區分顏色的能量盈虧，綠色表示能量欠缺虧損，但生命力強，偏紅表示富足盈餘度高，類似季節中的春、秋兩季，而類似冬、夏的純藍或純黃的主觀能量則不盈不虧(此時實部為零)。注意這裡色能的概念，尚未見正式命名，是本文姑且為之起的一個中英文名稱，僅僅是主觀定性表達，與物理與工程中的能量之間無定量的結構或性質關聯。

主觀色溫/黃藍度/複數色調虛部(subjective color temperature, imaginary part of complex color number)：主觀上區分顏色的溫度貴賤，藍色表示色調溫度偏冷，但潛力大，而黃色表示色調溫度偏暖，類似季節中的冬、夏兩季，而類似春、秋的純綠或純紅的主觀溫度則不冷不暖(此時虛部為零)。注意這裡色溫的概念，僅僅是主觀定性表達，與物理與工程中的溫度之間無定量的結構或性質關聯。

六、參考文獻

【1】C. Parkhurst and R.L. Feller, Who invented the color wheel, Color Research & Application, 7(3), 217-30(1982) >>介紹可朔源最早色輪構想與1435年。

【2】I. Newton, New Theory about Light and Colors, Phil. Trans., 6, 3075-87(1671) >>牛頓公布白光稜鏡分解實驗結果。

【3】T. Young, On the theory of light and colours, Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1802, 92, 12-48(1802) >>Young公布視覺三基色的論文。

【4】金偉其、胡成捷，《輻射度光度與色度及其測量》，北京理工大學出版社，2006 >>顏色原理和測量的工具書。

【5】G. Buchsbaum and A. Gottschalk, Trichromacy opponent colours coding and optimum colour information transmission in the retina, Proc. R. Soc. Lond. B, 220, 89-113(1983) >>人眼視錐細胞靈敏度光譜研究論文。

【6】梁昌洪，《話說對稱》，科學出版社，2010 >>基本的對稱性生動介紹的書籍。

【7】Hermann Weyl, The classical Groups: their invariants and representations, Princeton Univ. Press, 1939 >>symplectic辛對稱的結構性質和造詞起源。

【8】柯斯特利金，代數學引論(第3卷)，高等教育出版社，2006 >>介紹典型群相對好懂的書籍。

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