Adiabatic從參數"浸漸"的量子演化到熱力學的絕熱過程

最近, 趙凱華先生在《物理》上發表了一篇行文優美的文章[1], 「Adiabatic」一詞在物理學中的用法和含義, 進行了歷史性闡述, 釐清了它是如何從熱力學中的「絕熱」演變為量子理論中「無限緩慢(浸漸)」的. 趙凱華先生是在經典力學和舊量子論的框架中闡釋「浸漸」的含義, 引用的文獻大多是上一世紀20年代以前的文獻, 有人也會誤以為這只是故紙堆里的舊故事. 但事實並非如此. 趙凱華先生的分析可以在現代量子力學框架中更加明晰地重新闡述[2,3], 對當前量子熱力學前沿問題的研究有現實意義[4—6].

為了說明量子力學中的量子絕熱(浸漸)過程如何對應熱力學中的「絕熱」過程[2,3], 我們先介紹量子絕熱定理: 給定一個量子系統, 其哈密頓量H =H [R(t)]依賴於一組緩慢變化的參數R(t). 它的一個典型例子是自旋為1/2的粒子在緩變的磁場中進動. 如果體系參數變化足夠緩慢, 不足以激發不同的瞬時本徵態間的躍遷. 初始時刻處於第n 個瞬時態|n(t=0)>上, t 時刻將保持在具有相同序號緩變瞬時態|n(t)>上, 能級序號n 是一個絕熱不變數. 以諧振子勢阱中粒子運動為例, 量子絕熱(浸漸)定理可以用圖1(a)形象說明.

接下來, 考慮多個無相互作用粒子處在諧振子勢阱中, 阱寬變化導致一個量子絕熱(浸漸)過程. 讓幾個粒子分佈在諧振子的不同能級上, 也不必是熱平衡態. 例如, 基態上有2個粒子, 第一激發態上有2個粒子, 第二激發態上有1個粒子, 等等. 因為諧振子勢阱的浸漸改變不引起瞬時態之間的躍遷, 從而不會改變粒子在不同態之間的布居[見圖1(b)], 因此, 馮·諾依曼(von Neumann)熵為

在量子絕熱(浸漸)過程中, 馮·諾依曼熵不依賴於時間, 是一個動力學不變數. 其中pn 代表不同能級上粒子布居的幾率, k 是玻爾茲曼常數. 對於熱平衡態, 要求粒子在各能級上的分佈滿足正則性的要求, 即是一個玻爾茲曼分佈, 信息熵就是熱力學熵. 因此微觀的量子浸漸過程必然導致熱力學熵不變. 在統計熱力學的意義下, 這就是一個熱力學的可逆絕熱過程.

圖1 (a)處在寬度緩慢變化(特徵寬度由l(0)變到l(t))的諧振子勢阱V(x)=x2/l(t)2 中, 在第一激發態能級的單粒子將繼續保持在這個能級上; (b)處在寬度緩慢變化的諧振子勢阱中的多粒子系統, 粒子在各個能級分佈的布居數保持不變

上述分析的一個直觀宏觀熱力學圖像如圖2(a)所示. 在由活塞封閉的容器中, 充滿處在熱平衡的氣體, 當我們足夠緩慢地拉動活塞, 使得容器體積變化的每一個時刻氣體都處在瞬時熱平衡態上(准靜態過程), 體系的熵是不變的. 這個過程與外界沒有熱量交換, 是絕熱的. 這種宏觀熱力學的絕熱過程完全對應於無限深勢阱寬度緩慢變化的量子力學浸漸過程, 如圖2(b)所示.

圖2 處在封閉容器中熱平衡氣體的准靜態過程(a), 可以和無限深勢阱寬度緩慢變化的量子力學浸漸過程(b)對應

為了更加定量地討論量子力學浸漸過程和熱力學絕熱過程的對應, 我們粗略地介紹一下量子熱力學的基本思想.根據浸漸變化的哈密頓量H =H [R(t)]瞬時本徵態對應的本徵值En(t), 體系瞬態內能E(t)=∑En(t)Pn(t), 其中Pn(t)是第n 態上粒子布居的幾率. 因而體系內能的改變[5]dE(t)=dQ +dW 可以分為熱產生(或熱交換)

和對外做功

前者是由於參數改變引起的內部能級躍遷, 產生了熱交換; 而後者是由於參數改變(如拉動活塞改變勢阱寬度導致能級改變), 導致對外做功. 對於量子力學的「浸漸」過程, dpn= 0, 沒有能級躍遷, 粒子布居數不變, 從而分佈幾率不變, 沒有熱交換(dQ=0), 自然對應於熱力學的絕熱過程. 按照上述功與熱的量子力學劃分, 我們可以嚴格定義各種「量子化」的熱力學循環過程, 建立量子熱力學的基本框架, 這對理解有限系統、有限時間多粒子統計熱力學過程是有裨益的[5].

最後需要指出, 並非所有的熱力學絕熱過程都可以由微觀的量子浸漸的微觀過程來實現. 可以存在這樣一個過程, 系統變化得非常快, 量子「絕熱(浸漸)條件」不成立, 產生內部激發. 但是, 讓做功物質與環境完全隔離, 沒有熱交換, 這樣一個宏觀上的熱力學絕熱過程, 微觀上並不是量子浸漸過程. 可以猜測, 由量子浸漸過程實現的熱力學絕熱過程通常是可逆的, 否則是不可逆的. 因為從微觀角度看, 內部非「絕熱」激發不可能是一個可逆過程. 特別是, 如果系統的初態不是熱平衡態, 當初態具有量子相干疊加,系統的「熱力學」表現出非常奇異的行為[6]. 研究做功物質的量子行為如何影響物理體系的熱力學, 是目前物理學發展的一個前沿研究領域———量子熱力學, 其中最重要的一步, 就是釐清熱力學中的「絕熱」與量子「浸漸」的關係.

以上的討論主要是對趙凱華先生的精彩論述加以補充, 但願不是狗尾續貂、並多少能激發讀者對量子熱力學前沿研究的興趣.

參考文獻

[1] 趙凱華. 物理, 2010, 39:54 [Zhao K H.Wuli (Physics), 2010, 39:54(in Chinese)]

[2] 湯川秀樹(主編). 量子力學(I), 北京:科學出版社,1991. 366—371 [Yukawa H. Quantum Mechnics(1).Iwanami Shoten, Publishers (岩波書店), 1972. 356—364 (in Japanese)]

[3] 孫昌璞, 張芃. 量子絕熱近似理論與Berry相因子. 見:量子力學新進展(第二輯). 北京:北京大學出版社, 2001. 21—86 [Sun C P,Zhang P. Quantum Adiabatic Approximation and Berry's Phases. In: New Progressin Quantum Mechanics. Beijing: Peking University Press, 2001. 21—86 (in Chinese)]

[4] Gemmer J, Michel M, Mahler G. Quantum Thermodynamics. Berlin: Springer, 2010 2nd Edition

[5] Quan H T, Zhang P, Sun C P. Phys. Rev. E, 2005, 72:056110 ; Quan H T, Liu Y X, Sun C P et al. Phys. Rev. E, 2007, 76: 031105

[6] Scully M O, Zubairy M S, Agarwal G Setal. Science, 2003, 299: 862; Quan H T, Zhang P, Sun C P. Phys. Rev. E, 2006, 73:036122; Quan H T, Wang Y D, Liu Y et al. Phys. Rev. Lett., 2006, 97: 180402

作者：孫昌璞 本文選自《物理》2010年第5期（源自/物理學會期刊網）

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