如何去閱讀數學？

你在閱讀數學文獻的時候遇到過什麼困惑么？讀不懂文章也許並不是你不夠聰明，而是因為想要讀懂數學也是需要一些技巧的。

未經訓練的人是無法讀懂和理解數學的。

閱讀是講究方法的。欣賞詩歌的方法和小說的不同，小說的和紀實文學的方法又有不同。看小說時去深究主人公到底為何是身體黝黑金髮飄飄是沒什麼必要的，但是閱讀紀實文學時對事實真相不去究根問底就不對了。同樣，欣賞美術和音樂也需要相應的方法。事實上，文學、音樂和美術課的入門部分把大多數筆墨都花在了傳授相應的方法上。

數學也有自己的閱讀方法。和我們需要學習如何閱讀文學一樣，我們也要學習如何閱讀數學。學習閱讀數學的方法所需的功夫，不比學習閱讀小說和詩歌、欣賞音樂和繪畫要少。Ed Rothsteins的《Emblems of Mind》是一本關於數學和音樂的關係的非常棒的書。它從側面闡述了閱讀數學的方法。

當我們閱讀一本小說時，我們關注它的情節和人物。我們關注各條故事線的發展和人物的變化。這些人物在我們的腦海中栩栩如生，有的惹人喜愛，有的讓人憎惡。我們不會拘泥於單個的詞句，而是將它們想象成畫布上的線條。即使有一個詞不認識也沒關係，我們總能把握大體的意思。我們很少停下來字斟句酌，而是隨波逐流一直讀到最後。這樣的閱讀讓人放鬆，給你思考的空間。

小說家們常常用精心準備的逸聞趣事來描寫自己的角色，而不是給他們冠以各種形容詞。他們先刻畫人物的一個側面，然後是另一個，然後再用不同的手法回到第一個，如此反覆，逐漸的將整個故事展開。這是一種將無法準確說明的複雜事物表達出來的好方法。

數學概念天生就是精確而完備的，因此他們的定義總是簡潔而準確。數學論文和小說都在講故事，只是數學論文中很少用到小說中的正常的語言辭彙而已。小說的美來源於優雅的文字和洗鍊的筆法。數學論文的美則來自於用簡潔有效的方法來描述非常複雜的概念。

人們在閱讀數學時會煩哪些常見的錯誤？應該如何糾正？

1、不要只見樹木不見森林

數學閱讀不是線性的...理解文意需要查閱引用、精讀、思考和反覆。

不要以為理解了每一句話就能通讀全文。這就好像把鼻子尖湊到跟前一點點的欣賞一幅畫一樣，你能看到細節、紋理和顏色，但卻無法欣賞這幅畫。每篇數學論文都講了一個故事。你應該在深究細節之前先了解故事的梗概。在有了一個整體的概念之後你就可以看得更仔細些了，這就好像重讀一本小說一樣。

2、不要做一個被動的讀者

一條只需三行就能證明的定理也許意味著經年累月的努力，要讀懂它就必須像作者一樣思考。

在例子中探索模式，嘗試特殊情況。

一篇數學論文通常只是在一部長篇小說的一小部分。在這個故事裡，作者花費了數月的時間探索未知的小徑，發現了一些東西。最後，他把他的所有動機、犯過的所有錯誤以及最後的結論簡潔的總結成了這篇文章。真正理解作者原意的方法就是在腦中重建作者沒有寫出的那部分故事，從字裡行間讀出東西來。

數學總是言簡意賅，惜墨如金。而讀者必須置身於其中。每時每刻，他都應該自省是否讀懂了文章的觀點。問問自己這些問題：

為什麼這個結論是正確的？你確定？我能向另一個人證明這個結論的正確性么？為什麼作者不用另一種方式證明它？我有更好的方法來說明這個結論么？為什麼作者和我的思路不一樣？我的方法是正確的么？我真的理解了這個結論了么？我是不是忽視了一些細節？作者是否忽視了一些細節？如果我沒法理解這個結論，我是否能夠理解一個類似但稍微簡單一些的結論？這個簡單一些的結論是什麼？需要完全理解這個結論么？我能不能不去理會這個結論的證明細節呢？忽略這個結論的證明會使我對整篇文章的理解產生偏差么？

不去考慮這些問題就好像心不在焉的看小說。發獃了一會兒之後你會突然發現雖然你已經翻了很多頁，但卻完全想不起你看了什麼。

3、不要讀得太快

想要快快的閱讀數學只會讓你沮喪。根據小說的不同和讀者的能力，一般人看小說半個小時能讀上20-60頁。但視你的能力和文章的深度而異，半個小時你能看懂的數學公式也許只有不到十行。努力和時間是無價的。你可以通過練習來提高數學閱讀的技巧和速度，但要小心。和學習任何技巧一樣，高歌猛進也會讓你疲憊不堪，就好像讓兩年沒鍛煉的你突然做一個小時的高強度有氧運動一樣。你也許能撐過第一節課，但你肯定不想再來了。看到有經驗的同伴輕鬆的完成了兩倍於你的訓練量，而你第二天卻會因為酸痛而哀嚎一整天，這樣的挫折感是很難以承受的。

例如，考慮 Levi Ben Gershons在1321年的手稿《Maaseh Hoshev（計算的藝術）》中給出的如下定理：

將從1開始的奇數個連續整數相加的結果等於這一串數字的中數與尾數之積。

現代數學家很自然的會將這個結論寫成：

讀者理解兩種形式的表達所需的時間應該是差不多的。這個定理的一個例子是

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3x5。

4、消化作者的思想

理解文意的最好辦法就是把作者的思想消化掉。這需要你回到最初的線索，然後自己獨立推導出相同的結論。數學家們常說，要理解一個問題，先要讀懂它，然後把它用自己的話寫出來，最後還要能把它教給別人。每個人思考複雜問題的方式和水平都有不同，你需要用自己的語言和經驗來解釋這個問題。

「當我使用這個詞時，它的意思就是我賦予它的意思」 （Humpty Dumpty 對愛麗絲說道，引自 Carroll Lewis 的《愛麗絲鏡中奇遇記》）「意義」從來都不是透明的，因為每一個單詞或符號都是概念和典故濃縮而成的。

嚴謹的數學文字只會認真的使用那些沒有歧義的辭彙來區別不同的東西，例如組合與排列。嚴格的數學定義會說，「黃色的瘋狗」和「瘋狂的黃狗」的詞語排列是不同的，但組合是相同的。大多數講英語的人不會同意這一點。這種極端的嚴謹對於以使用排比對仗反覆等修辭手法為榮的詩歌和小說的創作是無法想象的。

讀者應該知道，絕對值並不是什麼無法改變的數值，而函數也和任何實用性無關。

一個特別有名的例子是「容易得到」或是類似的話。它的實際意思是：

任何人都可以通過一定的機械和複雜的計算驗證以下陳述的正確性。作為作者，我雖然可以完成這些，但這會耗費大量的紙張卻沒有什麼幫助，因為您自己通過演算來理解其中的邏輯是最好不過的了。我保證，這其中不會用到什麼新的結論。當然，思考與正確地把好點子組合起來是找到答案的必由之路。

換句話說，這種話一般意味著這裡的結論背後的推導雖然枯燥甚至困難，但並沒有包含什麼新意。這樣讀者就可以根據自己的水平來決定他（她）是鑽進細節還是接受作者的保證：「好吧，我相信你」。

關於這種話能否用在在特定的場合或是作者是否正確的使用了它，無論你的意見如何你都應該理解它的本意。「容易得到」並不意味著

如果這都看不出來，那你就是個蠢貨。

它也不意味著

兩分鐘之內你就應該能弄懂。

但不熟悉這種暗語的人可能會誤解這句話，然後非常沮喪。某個問題對於一個人來說可能是枯燥無味的，但對於另一個人來說則可能很有挑戰性。但這種問題和「容易得到」這種話無關。因此文章的作者在使用這種話時需要考慮到他的讀者。

5、認識你自己

文章的寫作都是有目標受眾的。開始閱讀之前請確認您就是文字的目標讀者，或是原意學習以成為一個合格的讀者。

T.S.Eliot 的《給 Simeon 的一首歌》：

Lord, the Roman hyacinths are blooming in bowls andThewinter sun creeps by the snow hills;Thestubborn season has made stand.Mylife is light, waiting for the death wind,Likea feather on the back of my hand.Dustin sunlight and memory in cornersWaitfor the wind that chills towards the dead land.

比如，Eliot 的這首詩至少假設了它的讀者知道 Simeon 是誰，即使不知道也願意去了解這個人。它還假定其讀者有一定的欣賞詩歌的能力，或者即使沒有也願意去學習並得到這種能力。它假定讀者能夠讀懂或者會去研究它的典故。這不僅包括 Simeon 是誰這樣的信息，還比如，為什麼風信子是「羅馬的」？這很重要麼？

Eliot 假設讀者會慢慢的讀這首詩並勾勒出這樣一幅畫面：他把塵土與回憶放在一旁，將老去想象成寒冬，把等待死亡比作手背上的一根羽毛。他假設讀者能夠認得出這是一首詩，假設讀者熟悉詩歌的形式。讀者應該知道隔行押韻，但臨行不會，等等。

最重要的是，他假定讀者不光會用心，還會用感情和想象來讀這首詩，在畫面中召喚出這位老人，對生命已經感到疲憊，但仍在堅持等待著某個重要的事件的發生。

數學書也一樣會對讀者做一些假設：讀者應該了解某些知識，達到了某個「等級」什麼的。在開始閱讀之前，最好確認你已經擁有了作者所期望你了解的知識。

6、數學寫作的一個範例

為了實踐我剛才提到過的準則，我附上了關於「生日悖論」的一段文字。文章的第一部分用簡練的數學語言描述並解決了這個問題。第二部分則從讀者的角度想象如何用正確的方式來嘗試讀懂這篇文章。這篇文章主要和概率論有關，只要願意思考，對讀者背景沒有任何要求。

生日悖論

一位教授和班上30名普通學生們打賭說這個班上至少有兩個人是在同一天生的（月日相同，年不一定）。你敢和教授打這個賭么？如果班上的人更少一些呢？你還願意打這個賭么？

假設 n 個人的生日均勻的分佈在一年的365天之中（簡單起見不考慮閏年）。可以證明，至少有兩個人在同一天出生的概率是：

那麼一個房間里的30個普通人，其中至少有兩人在同月同日出生的幾率是多大呢？對於 n = 30，答案是大約71％。這意味著在任意一個30人的班級之中，賭100次的話教授能贏71次。而如果班上只有23個人，教授贏的幾率大概是50%。

證明

設P(n)兩個人同月同日生的概率。設Q(n) = 1 - P(n)，也就是沒有任何人是在同月同日生的概率。現在我們就可以用 n 個生日不重合的組合方式除以所有可能的生日組合方式計算出 Q(n)，然後就可以得到 P(n) 了。

不重複的 n 種生日組合方式總共有：

365x 364 x 363 x ... x (365 - n + 1)

這是因為第一個生日有365種選擇，而第二個生日只有364種了，一次類推到第 n 個生日。而在沒有限制的情況下 n 個生日的組合即是 365^n 因為每個生日都有365種選擇。因此，Q(n) 即為：

用 P(n) = 1 - Q(n) 就可以得到結果了。

從讀者的角度理解生日悖論

在這一節中，一位新手想要看懂剛才的幾段話。R 部分是讀者的想法，P 部分是專家對讀者部分的評論。

讀者(R)：我一點也不懂概率論，我能看懂這篇文章么？

專家(P)：試試看吧。每一步可能都會反覆很多次。

R ：「30名普通學生」是什麼意思？

我的讀者可能看起來上手挺快的。但實際上，每一段讀者的話都意味著長時間的思考，而且我已經略去了讀者嘗試死胡同的部分。要和這位讀者感同身受不是只要讀過他（她）的評論這麼簡單的事情，你要在試圖理解這個問題時可以把他（她）的話作為思路。

原文來源：web.stonehill.edu，原文作者Shai Simonson and Fernando Gouvea，本文選載自王偉華科學網博客。