學好數學的方法

如何學好數學

第一：要具備不卑不亢的心態

數學並非難，只是它的表述體系和思維要求，對於多數學生比較陌生。要把它當作全新的東西來認識，就跟學習一門新語言一樣。以前自己學的東西，包括高中知識和AP數學等，記住概念即可，思維推導不要沿用。然後嚴格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數學天才陶哲軒給UCLA大學部生講Honor Analysis(榮譽數學分析)的時候，上來進度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但後來可以越學越快，而且學生越學越Hi。拳不離手，曲不離口，學語言要勤動口和動筆，學數學也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學好數學：20世紀俄羅斯數學學派掌門人、莫斯科國立大學數學系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，大學部四年讀的都是歷史和語言學，博士申請UWM的經濟學博士，讀了半年退學，自修數學和物理,23歲考進Princeton，碩轉博再同時搞數學和物理。16年後，他站在菲爾茲獎的領獎台上。我說過了基礎數學其實是哲學，而哲學算文科還是理科都有道理。所以，就算國內數學學得再爛，只是按照國內標準比較爛，在美國完全有可能前途無量，要有信心。另一方面，國內就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎紮實實的學。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。這裡特別要說一下美國數學教學的二段教學法：不同於俄羅斯和上來就是帶證明的數學分析和高等代數，美國的教學更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數，內容比較簡單，作業和考試很多學生可以依靠高中基礎秒殺之。但不少人練習不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然後到了第二段，數分和高代一開，很多人慾哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。然後第二段就要細讀書，多問老師。在美國基礎數學能學好的人，要麼是自己天才，要麼就把教授辦公室的椅子坐穿。

第二，保證數學的學習時間

要是天才並且喜歡數學，那你自然會給數學大量時間。如果是為了將來勝任其他領域而學數學，要記住大一大二對於打好數學基礎是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學科的作業，然後把大塊時間分配給數學的看書做題細琢磨。我目前主要是修各種數學課和一門應用數學的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯後的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學習。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當於最終學習10小時。誰說數學天才每天悠哉游哉?那麼最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧?他自述道：習慣帶著數學題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：「夢幻通靈」賽赫(與「造化陰陽」高探蝶，「迷津慈航」艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國皇家學會會長，敕封爵士)並列20世紀世界第一的數學家)。數學多好算好?別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by「現代微分幾何之父」陳省身)。一本書讀完，同一領域下一階段的書要能自通30%。校內傳的什麼每天學習八小時那是給別的學科的。每天八小時想學好數學?做夢!

第三，學會科學的思維方法

下面分條目詳解：

(1)數學思維的三個方面：任何數學的定義、定理說透了也就三部分：第一是它本身的文字和(或)符號、公式內容;第二是它在數學知識體系中的位置，與其他數學內容的邏輯關係，包括由什麼可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什麼;第三是它所涉及的範疇有什麼具體實例(比如循環群就有旋轉圖形、整數加群和同餘模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數學中或數學外(典型的如幾何和物理)取得應用。這就分別是數學對象的本體論、方法論和目的論。柯莫高說：「的確學生對數學的適應性存在差異，這種適應性表現在：1，演算法能力，也就是對複雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對於抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達出來，並進行思考的能力。3，一步一步進行邏輯推理的能力。」這些對應的就是掌握數學概念的三方面需要什麼能力。提高演算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯繫生活實際;邏輯推理這個往往是學生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習。練習邏輯推理的方法關鍵在定理的證明，下面會詳述。

(2)心理狀態：很多人開始覺得數學難，然後生怕基礎打得不牢，一個定理看半天，看似很認真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進度。這就像打羽毛球和練書法，你心裡緊張，手抓得太緊，反而發不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發力的彈簧狀，擊球時蹬地轉體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最後一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防禦的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調動已有知識，並可以多角度觀察新知識，思維能發散也能迅速收回並集中攻關。這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標記，第二天要試著不看書回憶。