在國中數學學習中,我們已經已經學習了最基本的邊角關係相關知識,如勾股定理、解直角三角形等等。
進入高中后,高中數學教材繼續深化這一塊內容,如增加正弦定理和餘弦定理。高中數學課本在引入正弦定理內容時,會提出一個探究性問題:"在任意三角形中有大邊對大角,小邊對小角的邊角關係。我們是否能得到這個邊、角的關係準確量化的表示呢?";在引入餘弦定理內容時,則會提出探究性問題"如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法,這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。
設置這些問題情境一個是從學生已有的幾何知識出發,另一個主要是培養學生數學思想方法運用能力。
培養學生的數學思想方法能力是高中數學學習中的重要組成部分,有利於學生加深數學知識的理解和掌握。如在引入正弦定理和餘弦定理時創設相關問題情境,學生在提出問題、分析問題、解決問題過程中,掌握和理解相關知識,同時學會運用相關的數學思想方法。
因此,我們今天來講講正弦定理和餘弦定理相關綜合運用問題。
我們要知道,依據已知條件中的邊角關係判斷三角形的形狀時,主要有如下兩種方法:
(1)利用正、餘弦定理把已知條件轉化為邊邊關係,通過因式分解、配方等得出邊的相應關係,從而判斷三角形的形狀;
(2)利用正、餘弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關係,通過三角函數恆等變形,得出內角的關係,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應用A+B+C=π這個結論。
[注意]在上述兩種方法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解。
典型例題1:
如何運用正弦定理和餘弦定理來解決問題,似然教材中會提供一些建議,但對於一些綜合性問題,兩個定理都能用,是選用正弦定理還是餘弦定理,關係到個人解題方法積累度。
應熟練掌握正、餘弦定理及其變形.解三角形時,有時可用正弦定理,有時也可用餘弦定理,應注意用哪一個定理更方便、簡捷。
已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷。
正弦定理和餘弦定理並不是孤立的。解題時要根據具體題目合理選用,有時還需要交替使用。在解決三角形問題中,面積公式S=1/2absin C=1/2bcsin A=1/2acsin B最常用,因為公式中既有邊也有角,容易和正弦定理、餘弦定理結合應用。
典型例題2:
在三角形中,大角對大邊,大邊對大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B。
有很多同學即使熟知正弦定理和餘弦定理,在解決具體問題時,也經常不知道選擇哪個更好,不能靈活轉化,從而使問題複雜化,所以正確選擇正弦定理和餘弦定理是解這類問題的關鍵。
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