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完結的量子力學科普,不完結的量子力學(考試)| SciFM Vol.13

完結的量子力學科普,不完結的量子力學(考試)| SciFM Vol.13

幾周不見,不知道大家量子力學都考完了沒有呢~

考完了也沒有關係,下學期的固體物理或者統計物理還用得著呢,一定要及時複習一下呦~

本期節目意在提醒大家假期不要只顧著玩,也關注一下,教務系統里,量子力學的考試成績吧~

一條重整化的音頻

▲請點擊上面音頻按鈕收聽聲音吧~

首先簡略回顧一下前兩期內容:

第一,微觀粒子的狀態用波函數表示

第二,波函數隨時間的演化遵循薛定諤方程

第三,物理量用厄米算符來表示,算符表示對波函數進行的操作

第四,算符的本徵方程,本徵值,本徵函數

第五,測量物理量時,我們能夠測到的取值就是該算符的一系列本徵值

如果大家對以上幾條內容有任何疑問,請及時點擊我們文中給出的鏈接回到前兩期節目中複習,如果覺得看文字累,也可以點擊音頻聽主播講給你聽~

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厄米算符

上次遺留的問題是,什麼是厄米算符呢?

前面我們講了,本徵值是求解本徵方程得出來的。它有可能是實數,也有可能是複數。但是,我們要做實驗搞測量,測到的一定是個實數呀,我們不可能測到電子的能量是1+2i J,所以呢,必須要求,物理量算符的本徵值一定要是實數。而在數學上,剛好有一類算符滿足這個要求,我們就把它們叫做厄米算符。具體怎麼定義大家可以不管它,關鍵在於這個性質,大家了解即可。

第四條基本假設

物理量算符的本徵函數構成一組正交完備基,把波函數用這組正交完備基展開,測得某個本徵值的概率,就是其對應本徵函數展開係數的模方。

這裡又涉及到了兩個概念,正交完備基,和展開係數。這倆又是個啥東西呢?

大家肯定都玩過積木,積木裡面有一些基本的積木塊,比如立方體,長方體,半球,三角形,等等。我們用積木拼出來的任何一個城堡啦,小動物啦,都是每種積木塊取若干個,然後拼在一起拼成的,比方說,我拼了一個小狗,用了一個立方體,兩個三角形,五個長方體,那我們寫成

小狗=1*立方體+2*三角形+5*長方體

類似地,可以有

小房子=1*立方體+1*三角形+1*長方體

我們把這個式子,稱為一個線性展開式,前面的數字,稱作展開係數。或者說,小房子,小狗,是立方體,三角形,長方體等基本零件的線性組合。「線性」的意思是,展開式里只有有一次方項,沒有三角形的平方啊,三次方啊這種東西。

如果不管什麼東西,都可以由這東西拼出來,我們就說,立方體,三角形,長方體,半球,構成了一組正交完備基。完備的意思是,任何東西都可以由這些基本零件拼出來,沒有它們拼不出來的。正交這個概念,在積木這個例子里沒什麼對應,待會兒我們再來解釋它的含義。

現在我們知道了,什麼是正交完備基,什麼是線性展開和展開係數。

那麼,回到函數這裡來。厄米算符的一組本徵函數,構成了一組完備正交基,這就是說,每個本徵函數都相當於積木中的一種基本零件,和三角形,立方體啊是一樣的。 而任意一個波函數呢,可以看作是我們用積木拼出來的東西,比如,波函數f是小狗,波函數g是小房子等等。這些波函數,可以由我們的基本零件拼出來,也就是可以用我們的本徵函數線性組合出來。

如果我們用S1,S2,…來表示本徵函數們,數學表達式就是:

F=a*S1 + b*S2 + c*S3 + …

前面的a,b,c是展開係數(可能是複數)。

現在,基本假設告訴我們,我們能夠測量到某個本徵值的概率,就是對應本徵函數展開係數的模平方。

那舉個具體的例子,我們測量物理量S,本徵函數是S1,S2,對應的本徵值是s1,s2,波函數是F,那麼測量到s1的概率就是a的模方,測量到s2的概率就是b的模方。如果我們不測S,改測G了,那本徵函數是G1,G2,…,對應本徵值是g1,g2…,那就要用G1,G2…這組本徵函數去展開波函數:

F= a』*G1 + b』*G2 + c』*G3 + …

測到g1的概率就是a』的模方,測到g2的概率就是b』的模方。

關於「正交完備基」中的「正交」,是為了我們數學上方便求出展開係數而構造出來的一個性質,有點類似於高中學過的向量的垂直,大家可以不必太在意。

至此,我們就完全理解了第四條基本假設。

第一次總結

首先在數學上,我們知道了一個物理量的算符時,我們可以求解本徵方程,求得所有的本徵值和本徵函數,這些函數構成一個正交完備基。當我們知道了一個體系的波函數時,我們就可以用這組正交完備基把波函數線性展開。

那現在我們去測量這個體系某些物理量的值,比如位置,動量,能量,等等,我們能夠測得那些值呢?答案是,剛才求出來的一系列本徵值。雖然某次測量的結果是不確定的,但是我們可以知道測得某個值的概率——就是這個本徵值對應的本徵函數的展開係數的模平方。

大功告成,這樣你就終於知道了女票向你扔電子的時候,你要躲開還是挺住。但……好像並沒什麼卵用,因為還是不確定,得看人品。

關於量子體系的不確定性

上節的末尾也提到了,我們用儀器去測量某個物理量時,能夠測到什麼值是不確定的,全看粒子的心情。什麼意思呢?比方說,有很多個完全一樣的盒子,每個盒子里裝了一個電子,這些電子都處在完全相同的狀態,也就是每個電子的波函數長得都一樣。現在,我們用儀器去測量每個盒子里電子的能量。你會發現,雖然這些電子所處的狀態完全相同,但一般來說,每測量一個盒子,你都可能測得不同的數值。

所以這有什麼奇怪的地方嗎?

我們用經典的情況類比一下,就相當於,假設每個盒子里有鋼鏰兒,我事先知道每個盒子里鋼鏰兒的狀態都是完全相同的。然而每次我打開一個盒子,都會發現,這個鋼鏰兒可能正面朝上,也可能反面朝上。

大家可能會想,不對啊,剛才明明說了這些鋼鏰兒的狀態是一樣的,這個狀態一樣是什麼意思呢?難道不包括正反面都一樣嗎?

的確,對於鋼鏰兒來說,我們可以用這個鋼鏰兒上每個點的坐標作為時間的函數來描述它的位形,也就是這個鋼鏰兒的狀態。所以狀態一樣,一定也意味著正反面一樣。但是,當我們把鋼鏰兒這個宏觀物體換成微觀粒子時,就需要考慮到第一條假設,這個粒子的狀態是用一個函數表示的,即波函數,狀態一致意味著波函數相同,但是單純知道波函數並沒告訴我們可以測到什麼值。直到第四條假設,才告訴我們與測量相關的事情。波函數一樣,也不能保證,對於完全相同的體系,測量某個量是總能測到同樣的值。這就是量子力學里,系統內稟的不確定性。

那麼為什麼會有這種不確定性呢?既然不確定,那是不是這其中就完全沒有規律可循了呢?

那我們就需要知道,我們如何得到測量值的。在經典力學的世界里,我們用位置,速度這些動力學量來描述系統的狀態,我們認為物體每時每刻總是有一個確定的位置和速度,並由此出發計算得到各種其他物理量。所以我們去測量時,如果系統狀態完全一樣,在同樣的時間,總是能夠測量到同樣的數值。因為那裡已經有一個確定值,我們去測量,只是去得到它而已。

而量子力學的出發點是完全不同的。系統的狀態並非由位置和速度這些動力學量來描述,而是由一個波函數來描述。關於測量,第四條基本假設告訴我們,那裡沒有一個確定的值等著你去知道,那裡有很多值都是可能的,你去測量只是從那些值中間取一個出來,但是在測量之前,你可以知道你測量到各個值的概率是多少。

這就是它們本質上的不同。

第二次總結

經典力學和量子力學雖然都叫力學,但他們有著完全不同的邏輯框架。經典力學用動力學量——位置和速度,描述系統的狀態,然後用牛頓定律給出動力學量隨時間的演化,各個物理量在每時每刻都有確定的數值,測量只不過是去把那個數值取出來而已。而量子力學系統狀態用波函數來描述,其演化遵循薛定諤方程。在量子力學里沒有了經典力學里的動力學量,而變成了厄米算符,各種物理量沒有固定取值,但是各種取值的概率是可以被確定的。

這就是目前為止,我們所知道的關於微觀世界和宏觀世界,完全不同的運動規律。當然,從量子力學可以過渡到經典力學,給出經典力學的結果,這是后話。

關於測量

不知道大家有沒有注意到,剛才在講測量時,說的是準備了很多完全相同的體系。那麼,為什麼要準備很多完全相同的體系呢?只準備一個體系,然後對它進行多次測量不可以嗎?

答案當然是,不可以。因為,在量子力學里,測量這個行為,會改變系統的狀態。這個改變非常嚴重,以至於後續測量已經和前一次測的完全不是同一個系統了。

那麼系統究竟會發生什麼改變呢?

前面我們知道,對於任意一個波函數,我們都可以用某個物理量算符的本徵函數展開。測量一次,就得到了該算符的一個本徵值。就在這時,系統會發生變化,其波函數會直接變成這個本徵值對應的本徵函數。這個過程,就是所謂的「坍縮」。因此當我們進行後續測量時,這個系統的波函數已經不是原來的波函數了。我們想要測量系統某個狀態下的物理量時,只能準備很多相同的系統,每個測量一次,而不能對同一系統進行重複測量。這一點也和經典力學非常不同。

第三次總結

到此為止,我們已經可以大致了解量子力學在幹嘛了。一般流程就是,給出一個系統的哈密頓量,給出邊界條件,我可以解薛定諤方程得到波函數。然後,對於感興趣的物理量呢,我可以去解他們的本徵方程得到本徵值和本徵函數,然後剛才得到的波函數用本徵函數展開,得到展開係數,就得到了觀測到某個值的概率,從而可以解釋和預測一些實驗現象。

除了這四條基本假設,還有一條全同性原理的假設,用於處理多粒子的情形,它會對多粒子體系的統計行為有非常大的影響,泡利不相容原理也源自於此。

當然我們以上三期講的呢,只是最最原理的東西,這門學科內還有各種各樣的方法和技巧,去處理實際遇到的各種複雜的問題。大家點贊轉發多的話我們有可能會出後續節目哦~本期節目就到這裡啦,我們下期再見~

編輯:吉星

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