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2021/12/25
內容提要：形式理論如今已在社會科學領域取得了廣泛的應用。微觀經濟學更是經典形式理論中的代表。反觀社會學領域，經典形式理論卻少之又少，馬克·格蘭諾維特的門檻模型可謂少數中的範例。針對社會學形式理論的稀缺現狀，本文旨在解析門檻模型的一系列建構和拓展思路，並通過與微觀經濟學的理論發展做比較，試圖發現社會學形式理論的獨特之處。為了對此做充分討論，筆者將首先深入簡單門檻模型的形式化與數理化過程，逐一梳理其建模思想，並展示後續模型的延展邏輯；其次，從行為假設的形式化、社會過程的數理化以及形式理論的延展性這三個方面，具體辨析微觀經濟學理論與門檻理論的建模差異，並嘗試總結兩者的特點。
關鍵詞：社會學形式理論 門檻模型 微觀經濟學
作者簡介：劉煒，清華大學社會學系博士研究所。
在社會科學領域，形式理論(formal theories)已取得了廣泛的應用。相較於一般經驗研究，形式理論的建構目的並不在於追求主要基於經驗事實的理論抽象，而是通過設置若干基礎假定，僅以此進行邏輯推導，並得出新的結論或猜想。這一與經驗研究截然不同的理論生產方式，有其獨特的建構邏輯。一方面，形式模型是一種以形式語言，尤其以數理語言，來表述解釋邏輯的研究方法。演繹性與精確性就成為其理論建構的固有特點；另一方面，一個形式模型的解釋邏輯越是能得到多樣化拓展，說明該模型越是具備擴大解釋範圍的潛力。理論外延的可變大小也直接關係到形式模型的優劣。由此來看，一個社會科學取向的經典形式理論應當具備以下三個特徵：1.形式化：針對一個在經驗層面重複出現的機制性問題，試圖建立簡明扼要的行為假設，並只基於給定的行為假設推論這一社會過程，而不囿於紛繁複雜的經驗現象或者反覆無止的概念闡釋；2.數理化：為了避免歧義，將理論邏輯轉化成更為精確的數學語言，並以數理模型而非以案例敘述或統計分析的方法，解析其社會過程；3.延展性：在一個簡單形式理論的基礎上，通過修正原有的行為假設和解釋機制，完成理論的有效積累。並且，這一積累邏輯不應只流於跨領域式的理論擴張，而更有待於促成模型的範式性修正。
微觀經濟學理論就是經典形式模型的一個代表。在一代代經濟學家的努力下，最初，從亞當·斯密對市場的描述中，抽象出基於「經濟人」假設的市場供求關係，完成了理論的形式化塑造；其次，「邊際革命」奠定了供求分析的數理基礎，並在數理推演上不斷深化「效用最大化」的思想；後續的微觀經濟學派，諸如擴展效用理論、信息經濟學等，都是新古典經濟學模型進一步領域擴張或理論修正的典範，理論之樹已然蔚為大觀。反觀社會學領域，形式理論卻未得到充分發展。社會學者一方面更善於從具體經驗現象中發展理論；另一方面，其繁複的解釋範式一定程度上也阻礙了單一行為假設下的系統性積累(Hage，1994)。至今，社會學界雖不乏頗有影響力的形式理論，但能兼有以上三個重要特徵的範例卻少之又少。比如，羅伯特·默頓的自證預言(Merton，1968)儘管能形式化地描述社會過程的微觀基礎，卻不容易實現數理轉化；又如，哈里森·懷特基於生產商角色互動的市場理論(White，1981a；1981b)雖然建構起了相應的數理模型，但作為一個原創的形式理論，其初始複雜程度已超乎新經濟社會學家們的想象，所以，最終難以發展出後繼的研究。
是不是基於社會學視角的研究就不適合建構經典形式理論?其實也不盡然。馬克·格蘭諾維特的門檻模型(threshold models，Granovetter，1978)就是一個較好的示範。作為20世紀70年代以來全球最知名的社會學家之一，格蘭諾維特對新經濟社會學做出了奠基性的貢獻。熟稔於該領域的學者，通常對其所提出的弱關係概念與嵌入性觀點如雷貫耳，事實上他的門檻模型同樣獲得了學界的高度關注。從高頻引用情況來看，該模型除了被廣泛應用於傳播學、毒理學以及政治學研究之外，格蘭諾維特本人與後續的社會學者更是對其進行了諸多的理論性擴展和修正(Granovetter，Soong，1986，1988；Hedstrm，1994；Chwe，1999；Watts，Dodds，Newman，2002；Watts，Dodds，2009)。為此，本文旨在解析門檻模型的一系列建構和拓展思路，並通過與微觀經濟學的理論發展做比較，試圖發現社會學形式模型的獨特之處。
針對經典形式理論的三個特徵，以及社會學式的學科視角，筆者對門檻模型及其後續發展的討論重點如下：1.深入簡單門檻模型的全部形式化與數理化過程，逐一梳理與解釋其建模思想，並展示後續模型的延展邏輯；2.從行為假設的形式化、社會過程的數理化以及形式理論的延展性這三方面，具體辨析微觀經濟學理論與門檻理論的建模差異，並嘗試總結兩者的固有特點。另外，還需說明的是，本文強調形式理論的目的並不在於判定其與經驗研究孰優孰劣，而是希望通過補充一個理論生產的重要視角，對後續的社會學研究產生一定的借鑒意義。
一、社會學的經典形式理論：簡單門檻模型及其後續的模型拓展
在論及「集體行動何以可能」這一議題時，社會學理論習慣於運用制度化的社會規範與價值來解釋個體行為(Granovetter，1978：1420)。然而，格蘭諾維特認為這一理論只說明了集體行為與個人動機之間的簡化關係——「如果一個群體中的大多數成員做出相同的行為決策，可以推論，無論最初的情況如何，大多數成員最終都會共享同樣的社會規範和信仰」(Granovetter，1978：1420)。這意味著，單從趨同的總體結果直接推論趨同的個人習性，就是既有的社會學理論對宏觀行為與微觀動機之間的線性認識。然而，從具體社會過程來看，不僅行動者有認知差異，而且即便認知近乎相同的行動者參加集體行動，往往也會導致多樣化的社會結果。這在事實上，與人際趨同理論的解釋邏輯相悖。
為此，在多數情況下，「僅僅知曉集體行動參與者的社會規範、偏好、動機與信仰，只是理解其行為結果的必要非充分條件」(Granovetter，1978：1420)。所以，更待解答的問題是：在何種情況下，「一群暴徒加入了暴動」；又在何種情況下，只有「一個瘋狂的刁民在團結的公民面前打破了一扇窗戶」(Granovetter，1978：1425)?為了充分解釋導致多樣化後果的社會過程，格蘭諾維特(2007：4)「試圖挑戰社會規範可以引導集體行為方向這樣的模糊理論」，並強調「抽離出規範的架構是很重要的」。如果要具體解釋個體的行為如何聚合成(aggregate)社會後果，就需要觀察人際之間複雜而非線性的互動過程。為此，區別於個體趨同的行為假設，門檻理論從個體決策的互動性和異質性兩個角度出發，建構關於互動聚合過程的模型。
(一)行為假設的形式化：互動性與異質性
格蘭諾維特對行為假設的形式化處理都基於「門檻」概念而展開。論文甫一開篇，他即開宗明義地強調，該形式理論的關鍵在於「門檻」——做出某一決策的人數規模或比例超過某一閾值時，給定的行動者將採取相同的決策。格蘭諾維特坦言，「門檻」思想最早源自托馬斯·謝林(Schelling，1971a，1971b，1972)關於居住隔離問題(residential segregation)的討論，但兩者的不同之處在於，格氏的門檻模型能將「分析的特徵一般化」，並重在回應「在某個人達到行為閾值之前，需要察覺到多少行動人數」，以及考察行為人數的具體累積效應(Granovetter，1978：1422-23)。換言之，格氏的門檻模型更注重於定義個體決策的確切來源，並解析人際之間的互動機制。那麼，格蘭諾維特是如何實現該模型行為假設的形式化呢?
首先，他認為「並無必要將個體行動僅僅視為理性成本效益的計算結果……無論這些個體『門檻』背後的認知或規範因素是什麼」，「人可以有成打的理由參與暴動，卻不必然牽涉個人的成本效益分析」(格蘭諾維特，2007)。在格蘭諾維特看來，這種僅以他人之前的互動結果作為個體決策考量的設定，既賦予了「門檻」更具人際互動意義的閾限判斷依據，又可實現個人認知的抽象化。與「搭便車」理論(Olson，1965)中的「經濟人」假設相類似，這種只受他人決策結果影響的行為假設同樣體現了社會學式的「片面深刻」。
雖然行動者具有相同的抽象決策形式，但並不代表會產生趨同的個體決策結果。所以，另一個需要形式化的重點在於如何表示個體間的差異性。格蘭諾維特將認知上的個體差異而非個體趨同，作為解釋集體行為結果的主要因素。在他看來，這種異質性可通過門檻分佈形態來衡量。以人群暴動為例，既然「不同人在加入暴動之前會要求不同程度的安全性，並且從暴動中獲取的收益也各不相同」(Granovetter，1978：1422)，那麼，個體願意參加暴動的多種實質性差異就需要化約為一個新變數範疇下的形式性差異，而僅有抽象意義的門檻分佈形態正好符合這一要求。因而，格蘭諾維特用門檻變數來衡量個人採取行動的閾限，與此同時，門檻分佈形態又能形式化地呈現出行為決策的人際差異。
為了進一步凸顯「門檻」的形式化特徵，我們不妨再通過函數關係來辨析。與自證預言一樣，門檻模型所要解釋的社會過程也可以理解為一種信念形成機制(belief-formation mechanism，Hedstrm，P.& Swedberg，R.，1998)。也就是說，無論是自證預言，還是門檻模型，個人信念被社會所建構都是兩者共有的核心解釋機制。假設bit是在時間t時個體對採取行動的信念強度，那麼，可以看成是其他個體在時間t-1時採取行動的人數的增函數g，即bit=g(nt-1)。雖然自證預言與門檻模型都強調個體信念來源於他人行為結果的互動性假設，但兩者的本質區別還在於如何表達bit與nt-1之間的具體函數關係，以及由此而形成的系統的聚合動力學過程(the aggregate dynamics of the system)，也就是說，個體行為的信念強度與其他已參與行動的人數，這兩者之間的函數差異會直接關係到信念形成機制的不同。顯然，自證預言並未指明函數g的具體內涵，而門檻模型已明確將其表示為個人門檻的函數。作為個人門檻基礎上的另一個關鍵變數，門檻分佈形態又能用於測量不同行動者的信念差異。所以，個體間的門檻異質性如何導致不同的集體行動後果，就成為門檻模型作為信念形成機制的一種解釋創新。
(二)社會過程的數理化：門檻分佈與均衡結果
門檻及其分佈形態的形式化設定為模型的進一步數理化做了鋪墊。為了精確模擬個體差異對集體行動後果的影響，形式模型的數理「轉譯」工作勢在必行。格蘭諾維特指出，在形式意義上，構建模型的目的在於從門檻的初始分佈去預測最終做出某項決定的人數規模或比例。那麼，在數理意義上，這一研究內涵可轉化為，隨時間推移，在給定動態系統中確定均衡點(equilibrium points)的問題(Granovetter，1978：1424)。
首先，格蘭諾維特通過兩種門檻分佈「失之毫釐，差之千里」的比較來強調差異的重要性。試想一個廣場上有100人，如果發生暴動的門檻分佈如下：一個人的門檻是0，一個人的門檻是1，一個人的門檻是2，以此類推，最後一個人的門檻是99。顯而易見，這是一個均勻的門檻分佈。那位門檻是0的行動者，在任何情況下都會參與暴動，他的暴動行為勢必激勵門檻是1的行動者參與暴動，因為只要有一人參加暴動，門檻是1的行動者就會參加，那麼廣場上的100人如骨牌效應一般，接連響應，加入暴動行列。那麼，暴動的均衡值就是100。
現在將均勻的門檻分佈重新排列。如果只把原來門檻是1的行動者設定其門檻為2，這一微小的改動，卻會產生截然不同的社會後果——門檻是0的行動者仍然參與暴動，卻沒有門檻是1的人緊跟其後，那麼，暴動也就止於一個人，均衡值就變成了1。這兩個看似幾乎完全相同的人群，其暴動結果之所以差之霄壤，只在於兩者的社會聚合過程有所不同(Granovetter，1978：1425)。在以往的集體行動研究中，這類對偏好分佈的討論長期未受到重視。部分集體行動從群體的平均偏好(average level of preferences)來看理應發生，實則卻未發生，面對此類情況，門檻模型尤其具有理論意義。
為了便於描述門檻分佈與均衡結果之間的微妙關係，格蘭諾維特建構了一個簡單的數理模型，試圖從代數上證明門檻分佈差異對集體行動結果的顯著影響(詳見圖1)。x設為門檻，f(x)就是門檻的分佈，而F(x)則是累積分佈函數，它等於門檻小於x的人數比例。在時間t時，參加暴動的人數比例為r(t)。假設我們知道在特定時間點t的r(t)，比如，在第二期時(t=2)，50％的人加入暴動，那麼第三期就會有門檻小於或等於50％的所有人加入。這個過程可用一個差分方程表示：r(t+1)=F[r(t)]。如果當時間t時，參加暴動的累積人數比例為F[r(t)]，那麼時間t+1時，門檻等於或小於F[r(t)]的人，會參加暴動，記為r(t+1)，而此時參加暴動的累積人數比例為F[r(t+1)]，以此類推。為了使F[r(t)]的值在x軸上找到相應的r(t+1)，添加一條45°線，使F(x)=x。讓前向遞歸的過程(forward recursion)可不斷重複，持續在45°線上找到。當r(t)=r(t+1)時，即可確定均衡值(前提條件是行動者一旦參與就不會退出)。根據定義，如果狀態向量一旦等於，它在所有將來時刻仍等於，則向量就是動態系統的一個均衡點(Luenberger，1979：320)。在本模型中，可以看到，當r(t)趨於極限時，即可找到均衡點γe。γe就是曲線第二次從45°線上方跨越時的交點，代數上可用F(r)=r來表示。
格蘭諾維特發現，與平均偏好的思路不同，即使在正態分佈的情況下，數理模型中的門檻分佈也超出了與中心趨勢相關的常規變化形態(Granovetter，1978：1427)，並獲得了分佈差異意義上的數理證明。為了進一步說明在控制中心趨勢不變的情況下，門檻分佈差異本身所起到的作用，格蘭諾維特又設想當門檻的平均數保持不變而標準差持續變化時，會對均衡結果產生什麼影響?經過模擬后，他觀察到，當100個行動者，個體門檻呈現正態分佈，並且平均門檻恆定為25時，產生了令人驚訝的均衡結果(詳見圖2)。Y軸為均衡值γe，X軸為標準差σ。當到達一個臨界點σc時，參加暴動的均衡人數漸漸上升到6人。而當超過臨界點σc時，也就是大約在12.2時，γe忽然陡增到接近100，之後又開始逐步下降。均衡出現於累積分佈函數第一次從45°線上方交會之處。門檻正態分佈下的曲線會與45°線相交三次、兩次或一次(詳見圖3)。當標準差小於臨界點σc時，第一次曲線從上方與45°線交會在一個低點，然後交會於其下，再次交會於其上；當標準差等於臨界點σc時，前兩次的交會點合為一點，之後再從45°線上方與其相交；當標準差大於臨界點σc時，只有一個交會點，並且初始均衡值接近於100，隨著分佈密度降低，均衡值逐漸下降。可見，臨界標準差附近的微小變動會直接導致均衡結果的巨大差異，這也是只關注於平均偏好的理論所無法解釋的。所以，「如果沒有一個明確關於聚合過程的理論模型，我們將很難精確推斷何種偏好結構會造成何種社會後果」(Granovetter，1978：1428)。
圖1 找出門檻分佈均衡點的圖解，r(t)=時間t上的暴動人數比例
圖2 暴動人數的均衡值與門檻正態分佈下的標準差(平均數25，個數100)
圖3 正態分佈下累積分佈函數曲線與45°線交會情況(平均門檻恆定)
(三)形式理論的延展性：對門檻及其分佈形態的拓展
由以上的模型建構可知，在個體行為的互動性與異質性假設的基礎上，門檻模型分析的最終目的，其實是在任意排列組合的門檻分佈下，通過社會過程的數理化來推斷均衡值及其穩定性特徵(Granovetter，1978：1429)。作為一個基礎形式理論，如果門檻模型的均衡穩定性發生變化，我們該如何做出解釋呢?格蘭諾維特主要從個體的互動性與異質性，即個人門檻及其分佈形態，這兩個維度上的變化來逐一討論，進而引出了門檻模型的兩種理論拓展路徑。
首先，格蘭諾維特指出，如需討論均衡的穩定性，就有必要將現實中的多種影響因素納入門檻分佈的考量之中，例如社會結構或社會行動在空間維度上的分佈等。關係的強弱即是社會結構的重要表現之一。舉例來說，如果朋友之間的影響力是陌生人之間的兩倍，並且假設100人之間都從陌生人關係變為朋友關係，那麼，所有人參加集體行動的門檻值都會降低一半。通過計算機模擬真實情況下的門檻均勻分佈，格蘭諾維特發現，一旦受到任何社會結構的影響，100名暴動者的均衡結果都是不穩定的(Granovetter，1978：1430)。另外，空間分佈差異也會導致均衡結果的可變性。設想在某些大城市中所有人具有均勻分佈的門檻：1％的人口有門檻0％，1％的人口有門檻1％，以此類推，1％的人口有門檻99％，從中隨機抽取100人聚集在同一時空下，一次抽中門檻是0％的行動者概率為0.01，那麼，100次都抽不到門檻0％的行動者，其概率為(1-P)100，約等於0.37。如果只有一人參加暴動，其概率為0.14。可見，最終均衡結果有一半的幾率不是0即是1。當門檻均勻分佈時，均衡結果在任意排列組合下會變得何其脆弱(Granovetter，1978：1431)。因此，格蘭諾維特認為這兩個方面都是簡單門檻模型解釋力不足的原因。
作為以上經驗變數引入的延續，赫斯特洛姆(Hedstrm，1994)與崔時英(Chwe，1999)都發現了簡單門檻模型的一個隱含條件——人際之間的影響力大小都相同，然而，大量事實已經證明，社會網路的類型與結構會限制社會影響的傳播。他們分別從空間分佈與關係強弱的角度對門檻分佈做了進一步的理論修正，但這兩個研究只針對門檻分佈實現了結構上的複雜化，並沒有對社會網路的連接性做進一步的形式化處理。不滿足於人際結構上的經驗性修正，沃茨等人(Watts，Dodds，Newman，2002；Watts，Dodds，2009)將假定「人際完全互通」(「all-to-all」)的簡單門檻模型作為一個特例，融入隨機網路模型之中。在門檻模型的基礎上，沃茨等人新設ki作為行動者i能直接影響到的「鄰居」數量，而且假設社會網路中的個人決策信息只來源於身邊人。這一「地方性」的視角，使個人門檻Φ僅參照於已參與集體行動的「鄰居」人數佔總「鄰居」人數的比例——例如，當i身邊已有一個行動參與者，且i的門檻小於等於「鄰居」總數分之一時，亦即，當Φ≤1/ki時，i就會參與該行動。所以，門檻分佈f(Φ)與「鄰居」數量的程度分佈pk共同組成了集體行動傳播過程中的關鍵變數。通過計算機模擬發現，社會影響力的聯通實際上只限於小範圍，出了這一範圍，影響力聯接程度通常比較小。並且，隨著個人門檻的異質性增強，大規模通聯的可能性也會增加；但是當每個人「鄰居」數量的異質性增強時，大規模通聯的可能性反而會降低。可見，在隨機網路模型中，影響力若要成功傳播，不僅取決於群體影響下的個人特徵(如門檻等)，而且也要考慮到人際之間的連接性問題。所以，格蘭諾維特與赫斯特洛姆所提及的空間分佈這一經驗性考量，就被沃茨等人的模型形式化為「鄰居」數量的程度分佈pk。當人均「鄰居」數量等於N-1(N為總體人數)且每人「鄰居」數量的標準差為0時，人際之間實現了完全互通，那麼，簡單門檻模型就可作為新模型解釋邏輯的一部分了。
除了從門檻分佈角度考量均衡穩定性的變化之外，門檻的內涵變化同樣會導致均衡結果的改變(Granovetter，Soong，1986；1988)。當然，這種變更決策依據的目的仍然是為了面對重要的機制性問題——格蘭諾維特分別借用兩類複雜門檻模型，重新解釋了經濟學中的著名議題：「凡伯倫效應」(Veblen，1961)與「居住隔離」(Schelling，1971a；1978)。如果說簡單門檻模型旨在呈現單一群體參與「從眾」行為的社會過程，那麼，格蘭諾維特通過兩種將單門檻變為雙門檻的假設轉換方式，使個體決策依據多元化，則進一步拓展了原有的解釋機制。
首先，在簡單門檻模型的敘述中，他已然察覺到「從眾」與「求異」效應(Leibenstein，1950)都普遍存在於集體行動之中：「一個謹慎的人會在暴動人數比例是50％的時候加入暴動，但是，由於擔心事情鬧得太大而招致當局鎮壓，又在90％時退出」(Granovetter，1978：1439)。如果將「求異」行為引入門檻模型，門檻變數的內涵會發生什麼變化?解釋機制與均衡結果又會有何不同?在只有「從眾」行為的情況下，門檻變數表示他人行動的人數規模或比例越大，個體參與集體行動的可能性越高；相較之下，「求異」行為正好與之相反，也就是說，他人行動的人數規模或比例越大，個體退出集體行動的可能性反而越高。所以，格蘭諾維特假定低門檻(加入門檻)分佈為fL，高門檻(退出門檻)分佈fU，累積分佈函數為FL和FU。可建立新的差分方程：r(t+1)=G(r(t))=FL(r(t))-FU(r(t))。均衡求解也與簡單門檻模型相似：通過前向遞歸的方法，可以在(0，1)的區間中漸進地找到均衡值G(γe)。當G(x)呈現單峰形態時，門檻分佈與均衡結果之間的關係也發生了相應的改變。作為高低門檻累積分佈函數之差的函數G，不一定只會呈現單調性。從數理上看，函數G在與45°線交會前只呈現單調遞增的形態，可得到穩定的均衡值；如果函數G在與45°線交會前已從峰值回落，就無法前向遞歸得到穩定的均衡結果，會表現出在兩值之間來回擺動的模式。均衡的穩定性發生了顯著的變化。
除了通過引入「求異」行為來拓展門檻內涵之外，格蘭諾維特同樣從群體差異的角度來豐富互動性假設。以飯館用餐為例，一個合乎常理的現象也可能是：「當飯館內白人或黑人顧客的人數規模或比例超過一定閾限時，相同膚色的潛在顧客才會進店用餐」(Granovetter，Soong，1988：70)。族群視角的引入，提示我們一個更為抽象的新問題：當行動者由不同群體組成，個體決策的依據變為只關注與自己身份相同的參與者規模或比例時，集體行動何以可能?門檻模型的解釋機制與均衡結果又將如何變化?格蘭諾維特假設有兩個群體，「個體的身份只從屬於一個群體，而且，只由於所屬群體內的行動者做出二擇其一決定的規模達到一定閾值，個體才會考慮做出相同的行為」(Granovetter，Soong，1988：73)。這樣就形成了以不同群體規模為依據的另一種雙門檻假設。而且，該門檻模型關注群體間存在互斥關係——兩類群體規模此消彼長。還是以餐廳用餐為例，首先假設土耳其裔與日耳曼裔的總人數分別為NT、NG，並且，兩者都是固定值。兩組累積分佈函數分別來表示土耳其裔與日耳曼裔顧客的門檻：以土耳其裔為例，FT(PT)就代表那些門檻小於等於店內土耳其裔人數比例(PT)的所有土耳其人的人數比例；同樣，對日耳曼裔而言，門檻就是FG(PG)。可以得到差分方程：nT(t+1)=NTFT[PT(t)]，以此來表示土耳其裔群體中的成員是否在餐廳里用餐的社會過程。同理，nG(t+1)=NGFG[PG(t)]可以表示為日耳曼裔群體的相似社會過程。其中，PT(t)=nT(t)/[nT(t)+nG(t)]。通過前向遞歸的方法，我們同樣可以找到兩者的均衡點，也就是說，當nT(t+1)=nT(t)以及nG(t+1)=nG(t)時，分別得到均衡值T與G。由此可得，T=NTFT[T/T+G]，以及G=NTFT[G/T+G]。顯然，均衡結果是否真實存在，仍然取決於它的穩定性。格蘭諾維特採用線性化方法來估計均衡結果的穩定性(詳見Luenberger，1979：322-28；Granovetter，Soong，1988：76)。通過複雜的數理分析，格蘭諾維特得出的定性結論是：當兩個群體的總體規模越小而店內用餐人數在均衡狀態下越大時，均衡結果越有可能達到穩定。
二、經典形式模型的比較：微觀經濟學理論與門檻理論
從以上的梳理與解析中，可以看出門檻模型對集體行動議題的洞察力。這些理論發現不僅有助於我們深入理解該模型的關鍵要義，而且更能引發對社會學形式理論的一般化討論。作為門檻理論的主要創見，以個人門檻及其分佈為表徵的互動性與異質性行為假設，藉助動態系統模型的數理轉化，以及兩種類型的理論延伸，都在建構和拓展的邏輯上與微觀經濟學的理論發展相異。為此，筆者希望通過兩類形式理論的建模比較，試圖探究社會學形式理論的獨有特徵。
(一)行為假設的形式化：「經濟人」與「門檻人」
新古典經濟學的形式化，主要體現在個體行為假設的早期演進上。早期政治經濟學家(Mandeville，1723/1962；Smith，1776/2003)無不觀察到個人利益與公共利益之間的微妙關係，並寓意個人逐利對市場繁榮的正當性。然而，後續的經濟學家卻從兩個方面進一步聚焦於行動者的經濟學意涵：首先，擯棄了個體的社會福利取向，只強調個體的功利主義動機，進而將個人行為抽象成追求財富的自利行為(Mill，1848/2008；1861/1998)；其次，又將經濟學的關注目光從公共領域拉回到私人領域，並明確賦予了個人在市場交換中秉承利益最大化的行為原則(Marshall，1890/2006)。從經濟學者對個人行為的形式化「脫脂」過程來看，一方面，個人利益與社會福利之間的關係已越來越不重要，取而代之的是，以純粹個人利益為導向的經濟分析逐漸成為市場交換的討論核心。這一簡化假定直接導致了，個人行為在被「原子化」處理的同時，研究者不再關注市場過程中複雜的社會互動問題；另一方面，個人在市場中所扮演身份的差異也在經濟學者的分析視野中逐步模糊起來，轉而個體都變成利益最大化理念的踐行者。這種同質化的個人行為假設使經濟學一度化約為只分析供給與需求關係的社會科學。
不可否認，早期經濟學的形式化確實成為了後續經濟學者得以深入探究「市場如何可能」這一關鍵問題的理論基石，但也需要看到的是，行動者的原子化與同質化，阻礙了經濟學者從其他基本行為維度去思考行為假設的可能性。如果從現實生活來看，經濟行動嵌入於社會結構之中(Granovetter，1985)，那麼，「經濟人」假設也僅僅是行動者的理想類型之一。在形式理論範疇下，除了從經驗層面考察「經濟人」假設與社會現象的相符程度之外，另一個更具理論意義的對話方式即是重新設定基本行為假設，並能與「經濟人」假設下的理論模型形成機制差異甚至完全替代。不同於原子化和同質化的設置思路，我們可以創建具有社會學意涵的「社會人」假設，門檻理論就是此類做法的一個範例。
顯然，格蘭諾維特恰恰揭示了「經濟人」假設所未能發現的行動者的另一面。儘管「搭便車」理論常被看成是「經濟人」假設在集體行動問題上的成功應用，但這也意味著原子化與同質化假設同樣被沿用到了集體行動的分析之中。針對集體行動議題的形式理論差異，奧利弗(Oliver，1993)曾對不同模型做了區分。其中，「搭便車」理論被認為是單一行動者模型的代表(Olson，1965/1971)。也就是說，該模型在群體行為給定的條件下，行動者決策只表現出個體利益最大化且不與他人互動的一面。不滿足於單以「經濟人」假設討論公共問題，格蘭諾維特提出了「門檻人」假設。自塗爾干以降，社會學者傾向於從社會結構與規範的角度來考察個人行為中的社會性。門檻模型繼承了這一理論傳統：個體的行為決策只取決於他人的行為結果。而且，格蘭諾維特進一步將之形式化為門檻變數，即某行動者只有當他人參與某一行動的人數規模或比例達到某一閾值時才會參與。這種互動化假設與「經濟人」的原子化假設形成了鮮明對比。不僅如此，格蘭諾維特還凸顯了行動者差異的重要性。無論是「高度社會化」所關注的社會規範意義，還是「低度社會化」所設想的個人利益最大化(Granovetter，1985)，實際上都把行動者「平均化」為毫無偏好差異的個體，這也導致了兩種解釋範式之間不必要的抵牾。格蘭諾維特反其道而行，強調行動者之間的認知差別，並通過設置行動者的門檻分佈形態來抽象反映人際差別。這一異質化假設不但區別於同質化假設，並且同質化假設下的搭便車困境完全可作為門檻理論中的一種門檻分佈而非唯一門檻分佈來做討論，克服了孤立的方法論個人主義下行為視角的單一性。
可見，格蘭諾維特不僅創設了與「經濟人」假設相埒的「門檻人」假設，來考察社會互動條件下的集體行動結果，而且，搭便車的行動邏輯亦能包含於表徵異質性的門檻分佈之中，足以窺得社會學形式理論的洞察力。單從「門檻人」假設的形式化而言，已然浮現出社會學形式理論有別於新古典經濟學的兩個重要微觀基礎——人際互動與人際差異。當然，建構「社會人」假設的宗旨還是在於能創造性地回應關鍵的機制問題，就如同在集體行動議題下，門檻理論能夠展示出門檻分佈差異如何導致不同行為結果的創見，而這也是同質化視角力所不逮之處。
此外，我們也要看到，當新古典經濟學在薩繆爾森(Samuelson，Nordhaus，1948/1992)引入顯示偏好的理念后，個人的實際選擇就能體現出個人的具體效用，並且，對個人而言的效用比較又能明確地反映在偏好的排序上。只要保持內部一致性，個體行為就是在追求效用最大化。反觀門檻理論，格蘭諾維特所設置的門檻變數雖然可以抽象地涵蓋個人所有的偏好、動機、規範等認知因素，但無法還原出這些認知因素之間的關係與權重。比如，兩個擁有相同門檻的行動者，卻往往具備不同的認知因素組合，這樣就不能進一步比較兩者認知的內部結構差異了。所以，基於人際互動與人際差異的門檻理論同時也將個人認知的內涵視作一個「黑箱」。
(二)社會過程的數理化：「靜態邊際分析」與「動態系統分析」
個體行為假設與數理模型表達往往保持著方法論思維的一致性，有時甚至是一個互為強化的過程。新古典經濟學的「科學化」還要追溯到漫長的「邊際革命」時代。「在邊際主義的旗幟下，經濟學不再關注在歷史上起決定性意義的人與人之間的階級制度與社會關係，而是……趨向於成為一種僅僅關注抽象的個別原子和東西之間的拜物教似的關係。」(Winch，1973)這也使理論重點從古典派的增長論轉向新古典派所強調的分配和效率，換言之，經濟分析從宏觀動態轉向了微觀靜態。後繼的新古典經濟學家才通過微分求解的方法，將邊際效用思想廣泛運用到靜態經濟分析之中。從此，經濟學逐步演變為一門討論選擇的科學，並致力於研究在約束條件下效用函數的最大值問題。雖然這種借用邊際分析的數理方法確實能找到一般均衡時效用函數的最優解，但此類既可表示某一個體又能表示某一群體的效用最大化分析，卻不能明確呈現市場從個人上升到集體的具體社會過程。
這一數理方法的局限也不可避免地體現在奧爾森對集體行動問題的討論之中。雖然奧爾森已經意識到，「分析集團大小與集團中的個人行為之間的關係是相當困難的，部分因為一個集團里的每個人對他所屬集團追求的集團物品可能抱有不同的價值觀」(Olson，1965/1971)，但是，當他在推斷個體何時會參與集體行動時，仍然沿用了效用最大化的論證思路——個人收益與集團收益之間的邊際比較。為了說明個人收益與集團規模之間的關係，並以此最終求得個體願意參加行動的條件，奧爾森考察了個人購買不同數量公共物品的損益情況。假設集團規模與個體占集團收益的份額都為常數，通過個人獲得公共物品的比率T對個人收益Ai求導，當此項最大值為0時，可得到個人提供公共物品的條件：當個人得到的集體物品數量最優(集團收益率超過成本增加率的倍數等於集體收益超過個人收益的倍數)時，集團總收益與成本之比要大於集團收益與個人收益之比。不可否認的是，奧爾森的確完美論證了針對集團利益與個人利益的關係，個人在效用最大化時提供公共物品的條件。然而，個體同質化的行為假設致使奧爾森相信，每位行動者都會在效用最大化時做出相同的利益計算，從而，當集團規模擴大時，行動者紛紛選擇搭便車；不僅如此，原子化假設又使集體行動中的參與者只從個人利益出發，並直接與抽象的集團利益做比較，而不顧及他人。所以，這種靜態邊際分析的思路就是在個體效用最大化的趨同假設下，將集體行動過程簡單分割成個體與集團的二元利益比較。
與搭便車理論不同，格蘭諾維特的門檻模型則強調集體行動的互動聚合過程。如果搭便車模型被視作時間變數闕如的靜態分析，那麼，門檻模型就可看成是集體行動隨時間變化而變化的動態解釋。可見，動態與靜態的主要差別即在於前者「是能產生時變曲線的現象，該曲線在某一時刻的特徵與它在其他時刻的特徵相聯繫」(Luenberger，1979：1)，但後者並不具有此類特點。針對個體的互動性與異質性假設，格蘭諾維特採用動態系統分析作為呈現集體行動變化過程的數理工具。這一源自物理系統的同構模型，如今也常被應用於族群演變、經濟的組織行為等一系列社會系統問題之中。一方面，相異於同質化行為假設，異質性假設需要具體表現出系統的分佈結構，而各類結構關係正可成為動態系統模擬均衡結果的前提條件；同樣，與原子化行為假設不同的是，互動性假設要求前一時刻的行動結果對后一時刻的行動決策會產生遞延影響，而動態曲線也恰好滿足了個體間的行為疊加效應。另一方面，動態與靜態分析在均衡結果求解上也存在本質區別。通過邊際分析，求得個體的效用最大值，只可呈現靜態的均衡結果；與之截然不同的是，藉助動態系統，均衡結果並不取決於同質化的個體決策，而是體現了互動效應下的動態結果——如上文所述，當系統中的狀態向量處於均衡狀態而不再移動時，說明系統達到了均衡點。作為一個離散系統，集體行動的動態過程只需要用差分方程來模擬，通過前向遞歸的方法就能找出均衡點。比之靜態分析，這一動態視角的優勢即在於可以清晰而準確地說明哪種門檻分佈會導致哪種均衡結果。換句話說，系統的社會構成(composition)與集體行動的社會後果能夠一一對應起來，因而，在方法論上不必再拘泥於「平均偏好」所造成的思維局限了。
從新古典經濟學與門檻模型的數理思想比較中，我們很容易發現後者對動態系統的強調，這也提示了社會學形式理論應當著重考察社會過程的互動聚合機制，而非僅僅滿足於在區分微觀個體與宏觀群體的基礎上，靜態而割裂地解釋其社會過程。另外，格蘭諾維特認為，相較於博弈論方法，動態系統分析也有其獨特優勢。他尤其從兩個方面指出博弈理論的缺陷：1.博弈理論假設所有行動者一起做出決定。但現實來看，每個人的決定會取決於他人先前的決定。共時的決策不但排除了集體行動的漸進性，而且預設人們在行動之前觀念已趨於一致。2.行動者被簡化為只擁有共同的偏好。如之前對新古典經濟學的批評，平均偏好的思路忽視了行動者之間的差異(Granovetter，1978：1434)。除此之外，動態系統分析也使門檻模型避免了類似博弈論對n維收益矩陣(pay-off matrix)的分析，而只需運用一維門檻向量，即可準確呈現集體行動的具體機制。
(三)形式理論的延展性：理論拓展路徑的學科比較
進入20世紀五六十年代，微觀經濟學家開始反思「經濟人」假設的適用性及其內涵等問題。其中有一類經濟學者致力於以經濟學的方法，來分析傳統上非經濟領域的研究議題。如布坎南、塔洛克對民主立憲過程的討論(Buchanan，Tullock，1962)，波斯納關於法律的經濟分析(Posner，1973/2007)以及貝克爾對社會性議題的擴展效用分析(Becker，1976/1978)等都可看成是這一擴張性路徑的典範。以貝克爾的擴展效用理論為例，在「經濟學帝國主義」向非傳統經濟領域「擴張」的過程中，單一的貨幣理性已無法滿足於解釋非經濟活動的行為。為此，貝克爾在效用最大化的前提下，通過擴充個人偏好的內涵，試圖形式化地分析原本被視作「非理性」的行為。針對利他主義行為，貝克爾提出了一個有趣的問題：如果利己在不同環境條件下的存活價值是不難理解的，那麼，為什麼人類中的利他行為能夠延續下來?根據定義，利他主義者寧願減少自身消費以增加他人消費；而利己主義者願意採取能增進他們財富的一切行為而不考慮對其他人的影響。然而，利他主義行為得以延續至今就說明，即使沒有對利己主義者的社會控制，利他主義者的消費和財富也會超過利己主義者。所以，貝克爾認為利他主義行為同樣可以作為個人理性的結果加以解釋。他假設h為利他主義者，i為利己主義者，那麼，利他主義者h的效用函數可表示為Uh=Uh(Xh，Xi)，Xh與Xi分別為h與i的自身消費。h的預算約束為pXh+hi=Ih，hi表示h轉移給i的貨幣量，Ih表示h的自身收入，所以，i的預算約束為pXi=Ii+hi，pXh+pXi=Ii+Ih=Sh，Sh就是h的社會收入。由此，h的效用函數最大化的均衡條件是：。這時，h對i轉移適量資源以使h從其自身的增量和i的消費增量中獲得相同的效用。在進一步推論時，貝克爾發現了一種「腐化」原理：每當利他主義者通過他的行為對其他人的行為的影響來增加其自身消費時，利己主義者具有試圖仿效利他主義行為的動機，因為不論虛實，「外顯」的利他主義行為都能增加自身消費。可見，貝克爾在效用函數中引入了原屬社會性範疇的利他主義動機，豐富了僅僅持有利己偏好的「經濟人」假設。
從形式理論的發展路徑來看，無論是雙門檻設置，還是擴展效用理論，都通過拓展原有行為假設的內涵，實現了向其他學科議題的擴張。然而，雙門檻模型與擴展效用理論之間仍然存在擴張策略上的差異。這一差異主要表現在社會學向經濟性議題與經濟學向社會性議題擴張時，行為假設的可還原層次上。不管是引入「求異」信念的門檻，還是分別表徵互斥群體的「從眾」門檻，格蘭諾維特都進一步擴大了門檻概念的內涵。在信念形成機制的範疇下，設置作為複數的個人門檻變數，使門檻模型得以解釋原屬經濟學領域的「凡伯倫效應」與「居住隔離」問題。然而，門檻內涵的擴大並不代表所有層次的決策依據都可被一一納入其中。由於格蘭諾維特只通過門檻值測量行動者的個人閾限，並沒有賦予其明確的個人認知結構，換言之，門檻理論的方法論個人主義只涉及個體對群體層面的行為結果考量，而無關個體層面自身的具體認知，所以，無論簡單門檻模型再另外引入哪類門檻變數，該變數都僅限於描述群體層面的社會效應對個人的影響，比如只涉及參與者數量變化的「求異」效應等。這也是個人只依據他人行為結果而決策的信念形成機制所固有的方法論局限。反觀擴展效用理論，個人偏好的內涵擴大可以同時伴隨著群體與個人兩個層面的決策依據引入。如同原本屬於群體互動範疇的利他主義動機，作為一個新的行動者偏好，被納入擴展效用函數之中。與若干門檻變數分別獨立表徵若干群體行為結果不同，擴展效用函數中的不同偏好及其行為結果都能最終通約成個人效用來比較。由於偏好之間的結構與函數關係(利己主義動機與利他主義動機等)已知，所以，各類層次偏好所導致的行為結果都能還原為單一加總下的成本、收益與效用。此外，理論擴張策略本身也存在一定的建模限制。首先，如果豐富行為假設的目的還是在於進一步解釋新的機制性問題，那麼，隨著決策依據一味的類型化與複雜化，反而會越來越不能回應關鍵的機制問題。比如，兩類雙門檻模型分別用以解釋「凡伯倫效應」與「居住隔離」問題，如果在此基礎上再進一步引入不同內涵的門檻變數，往往就難以找到可與之對應的現實意義或理論意義。其次，決策依據的多元化也容易造成數理分析的繁複化。例如，「求異」行為的引入使互動聚合過程在變得複雜化的同時，均衡結果也在求解過程中產生了更大的不確定性——均衡值可能形成來回震蕩的狀態。顯然，在雙門檻的基礎上，如果再引入新的門檻變數，均衡結果的不確定性會愈發顯著。同樣，擴展效用理論或多或少也存在這兩個擴張策略上的問題。
作為經濟學另一類反思的重要開端，赫伯特·西蒙(Simon，1955)認為個體在決策時，由於掌握信息與分析計算的能力有限，完全理性的「經濟人」過於理想化，應當被更符合現實的有限理性的「社會人」所代替。這一革命性的洞見直接奠定了經濟學家進一步修正「經濟人」假設的主要思想基礎。作為重要的現實約束條件，交易成本或信息因素對市場機制的影響都是這一修正性思路的代表。以信息經濟學為例，阿克洛夫(Akerlof，1970)的「檸檬」市場理論就試圖證明非對稱信息導致市場「逆向選擇」的機制。在二手車質量信息不對稱的情況下，由於買家並不了解高質量與低質量車的差別，因而，無論質量高低，都傾向於以相同的價格購買。如果買家總是以市場的平均質量來估價，這就造成高質量車主會退出該市場，久而久之，市場中的平均車價越降越低，其平均質量也越降越低，就逐步形成了「逆向選擇」過程。在此基礎上，斯賓塞(Spence，1973)引入了市場信號的概念。作為市場參與者解決「逆向選擇」問題的一種對策，市場信號就是那些可以被其他參與者觀察，並且在市場上傳遞個體行為和特徵的信息。在信息不對稱的市場里，通過大量釋放信號，依然可以獲得被「逆向選擇」所破壞的市場效率。所以，當行動者的信息完全對稱時，市場價格能明確反映商品質量，價格機制就作為信息經濟學的一種解釋特例而存在；當信息不完全對稱時，原本僅憑價格機制即可判斷質量優劣的「神話」被「逆向選擇」過程打破了。為了重獲市場效率，作為替代性機制的「信號傳遞」成為了信息非對稱條件下新的效率機制解釋。
無論是社會網路的連接性問題，還是信息的對稱性問題，都分別成為了門檻模型與新古典經濟學理論的現實約束條件。針對此類約束條件，兩個模型都發展出替代性的解釋機制。並且，類似於物理學中的相對論對牛頓定律的修正，兩類形式模型同樣實現了既有理論的範式性增長——社會網路限制下的信念形成機制與「逆向選擇」過程中的「信號傳遞」機制分別將簡單門檻模型與新古典經濟學視作解釋邏輯中的一個特例，並拓展了原有的理論範疇。然而，這類行為假設修正也存在學科之間的理論拓展差異——現實約束條件對新模型的作用在兩個理論中有不同的體現。在門檻模型的理論拓展中，沃茨等人發現，社會網路的連接形態會影響到集體行為的傳播過程。原本作為一個重要外生條件的人際關係連接問題，被沃茨等人直接轉換成作為內生變數的「鄰居」數量的程度分佈，融入到簡單門檻模型之中。在摒棄了原來「人際完全互通」假設的同時，新模型將人際連接的影響分佈形式化為一個結構性變數，與同為結構性變數的個人門檻共同組成了影響集體行動結果的兩個關鍵因素。不僅如此，為了適應於人際連接的程度分佈，個人門檻的參照對象只需在規模維度上從全部行動者調整為直接相連的「鄰居」。所以，作為社會學形式理論的一個優勢，注重社會結構變化的個人行為分析便於將重要而容易忽視的外生條件，轉化成另一個內生而並置的結構性變數，進一步豐富了原來的信念形成機制。與這一「由外生條件轉向關鍵內生變數」的修正方式不同，信息經濟學會隨外生條件的變化而重建新的解釋機制。為了克服信息不對稱所導致的「逆向選擇」效應，斯賓塞引入了「信號」變數。作為效率機制的另一類表徵，「信號傳遞」機制同樣可以通過釋放個體信息或特徵，使市場獲得效率。然而，信息經濟學所關注的重點不在於信息不對稱條件限制下的價格機制，而在於信息不對稱條件下作為效率替代的「信號傳遞」機制，形成了一種解釋機制的完整替代。所以，在微觀經濟學的理論修正中，外生條件難以進一步形式化為關鍵的內生變數。
三、結論
作為社會學形式理論的一個範例，格蘭諾維特的門檻模型從個人行為的互動性與異質性角度出發，憑藉動態系統分析模擬了在集體行動時不同門檻分佈導致不同人數均衡結果的互動聚合機制，並且，展示了兩類形式理論發展路徑的具體邏輯。一方面，這一具有代表性的社會學形式模型，與微觀經濟學理論一樣，同時具備經典形式理論的三個重要特徵；然而，另一方面，在行為假設的形式化、社會過程的數理化，以及形式理論的延展性上又體現出與微觀經濟學的不同之處。雖然社會學形式理論的稀缺現狀難免會造成有限案例的歸納性不足，但兩者比較之餘，我們仍然可以嘗試總結出社會學形式理論的一些發展方向：
首先，對人際互動與人際差異的強調，使我們看到社會構成的些微變化完全可能導致社會後果的巨大差別，這也是慣於設定「平均偏好」的既有理論所未能揭示之處。在形式理論意義上，這一信念形成機制能幫助我們克服一系列諸如「道義小農」(Scott，1976)還是「理性小農」(Popkin，1979)之類的各執一端的爭論，但也要看到，這些經典的行為假設之爭又可能成為重要的思想來源，指引我們進一步建構出具備互動性與異質性視角的社會學行為假設。
其次，對社會過程的數理化呈現，應當成為社會學形式理論需要探索的另一個重要目標。齊美爾所提出的「社會何以可能」(Simmel，1983/2009)作為社會學的核心命題，已激發了一代又一代社會學家不斷發掘各類解釋機制。在此基礎上，為了更為精確、更少歧義地展示機制過程，社會理論的數理「轉譯」勢必成為形式模型能否進一步「科學化提純」的關鍵。所以，探究以動態系統分析為代表的互動聚合模型，正是社會學邁向經典形式理論的一個重要途徑。
最後，無論是向其他議題領域的擴張，還是實現理論的範式性修正，都是基礎形式理論進一步拓展的重要方式。對社會學形式模型而言，只基於他人行為結果的個人行為假設，一方面易於將現實約束條件轉化成新的關鍵內生變數，形成理論的範式性增長，而另一方面卻難以還原到個人內部的認知結構層面，進一步拓展行為假設的內涵。所以，如何打開個人認知的「黑箱」，以及如何將個人認知結構與他人行為結果相結合，都是需要進一步探索之處。當然，社會學形式理論的延展邏輯還不盡於此，只要能使解釋機制產生本質變化的拓展方式都值得我們去發現。
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